Lösungen für das Übungsblatt zum Höhensatz (Aufgaben 1-6)

Arbeitsauftrag:

Aufgabe 1

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Im Dreieck $\triangle{EFG}$ ist ${g\,}$ die Hypotenuse (vergleiche den Hinweis auf dem Übungsblatt)
Damit kann man den Satz des Pythagoras ansetzen um die Länge von ${g\,}$ zu berechnen
${g^2=e^2+f^2\,}$
$g=\sqrt{e^2+f^2}$
$g=\sqrt{(7cm)^2+(4cm)^2}$
$g=\sqrt{65}cm$
$g \approx 8,06cm$
Jetzt kann man die Länge des zweiten Hypotenusenabschnittes ausrechnen
${p=g-q\,}$
${p=8,06cm-1,98cm\,}$
${p=6,08cm\,}$
Da man nun beide Hypotenusenabschnitte kennt kann man den Höhensatz ansetzen
$h_g^2=p \cdot q$
$h_g=\sqrt{p \cdot q}$
$h_g=\sqrt{8,06cm \cdot 1,98cm}$
$h_g \approx 3,47cm$
Da man nun die Hypotenuse und die Höhe kennt kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
$A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A_D=\frac{1}{2} \cdot 8,06cm \cdot 3,47cm$
$A_D \approx 13,99cm^2$

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Da Hypotenuse (m) und ein Hypotenusenabschnitt (t) gegeben sind kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt (x) berechnen
${x=m-t\,}$
${x=8,4cm-3,7cm\,}$
${x=4,7cm\,}$
Da jetzt die beiden Hypotenusenabschnitte bekannt sind kann man die Höhe berechnen
$h_m^2=t \cdot x$
$h_m=\sqrt{t \cdot x}$
$h_m=\sqrt{3,7cm \cdot 4,7cm}$
$h_m \approx 4,17cm$
Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke (vergleiche den Beweis zum Höhensatz)
In jedem der beiden kleineren rechtwinkligen Dreiecke kann man die Kathete über den Satz des Pythagoras berechnen
${Kathete^2=Hypotenusenabschnitt^2+h_m^2\,}$
Kathete 1
$Kathete_1=\sqrt{x^2+h_m^2}$
$Kathete_1=\sqrt{(4,7cm)^2+(4,17cm)^2}$
$Kathete_1 \approx 6,28cm$
Kathete 2
$Kathete_2=\sqrt{t^2+h_m^2}$
$Kathete_2=\sqrt{(3,7cm)^2+(4,17cm)^2}$
$Kathete_2 \approx 5,57cm$

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Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke
Man kann über den Satz des Pythagoras die Länge einer der beiden Hypotenusenabschnitte ausrechnen
Wähle ${Hypotenusenabschnitt_1=x\,}$
${c^2=x^2+h_b^2\,}$
${x^2=c^2-h_b^2\,}$
$x=\sqrt{c^2+h_b^2}$
$x=\sqrt{(4cm)^2+(\sqrt{7}cm)^2}$
$x=\sqrt{23}cm \approx 4,80cm$
Nun kennt man einen Hypotenusenabschnitt und die Hypotenuse
Damit kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt berechnen
Wähle ${Hypotenusenabschnitt_2=y\,}$
${y=b-x\,}$
${y=7cm-4,8cm=3,2cm\,}$
Die Kathete d kann man über den Satz des Pythagoras berechnen
${b^2=c^2+d^2\,}$
${d^2=b^2-c^2\,}$
$d=\sqrt{b^2-c^2}$
$d=\sqrt{(7cm^2)-(4cm)^2}$
$d=\sqrt{56}cm \approx 7,48cm$

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Bei dem gegebenen Dreieck handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck
Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck auf die Basis teilt diese in zwei gleichgroße Teile
Im gegebenen Dreieck ist die Hypotenuse die Basis, da die Katheten gleich lang sind und damit die Schenkel sein müssen
Man kann die Länge der Hypotenuse über den Satz des Pythagoras berechnen
Wähle ${Hypotenuse=a\,}$
${a^2=(4cm)^2+(4cm)^2\,}$
$a=\sqrt{(4cm)^2+(4cm)^2}=\sqrt{32}cm \approx 7,48cm$
Aufgrund der speziellen Eigenschaften in gleichschenkligen Dreiecken kann man die Länge der beiden Hypotenusenabschnitte berechnen
Beide Hypotenusenabschnitte sind gleich lang und haben die halbe Länge der Hypotenuse
$Hypotenusenabschnitt_{1/2}=\frac{a}{2}$
$Hypotenusenabschnitt_{1/2}=\frac{7,48cm}{2}$
${Hypotenusenabschnitt_{1/2}=3,74cm\,}$
Mit den beiden Hypotenusenabschnitten kann man nun die Höhe berechnen
$h^2=Hypotenusenabschnitt_1 \cdot Hypotenusenabschnitt_2$
$h=\sqrt{Hypotenusenabschnitt_1 \cdot Hypotenusenabschnitt_2}$
$h=\sqrt{3,74cm \cdot 3,74cm}$
$h=\sqrt{3,47^2}cm = 3,74cm$
$h=\frac{a}{2}$

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Der Abstand berechnet sich über den Satz des Pythagoras (wenn du dich nicht mehr erinnern konntest wiederhole das Kapitel entweder mit Hilfe des Lernpfades oder lies dir noch einmal deinen Hefteintrag zum Thema durch)
$d=\sqrt{(14-(-7))^2+(3-9)^2}$
$d=\sqrt{21^2+(-6)^2}$
$d=\sqrt{477} \approx 21,84$

a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

${46^\circ+43^\circ=89^\circ\,}$ , d.h. der dritte Winkel ist nicht $90^\circ$ , also ist das Dreieck nicht rechtwinklig
Der Satz des Pythagoras kann nicht angewendet werden

b) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Der fehlende Winkel beträgt $90^\circ$ , da $180^\circ-52^\circ-38^\circ=90^\circ$
Man kann also den Höhensatz anwenden
Die Länge des fehlenden Hypotenusenabschnitts beträgt ${Hypotenuse-Hypotenusenabschnitt_1=4cm-1,5cm=2,5cm\,}$
Man kann nun die Höhe über den Höhensatz berechnen
$h^2=1,5cm \cdot 2,5cm$
$h=\sqrt{3,75cm^2} \approx 1,93cm$

c) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Es ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, also kann man die Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras anwenden
${b\,}$ ist die Hypotenuse, da ${b\,}$ die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks ist
Damit kann man den Satz des Pythagoras ansetzen
${b^2=a^2+c^2\,}$
${c^2=b^2-a^2\,}$
$c=\sqrt{b^2-a^2}$
$c=\sqrt{(10cm)^2-(6cm)^2}=\sqrt{64cm^2}=8cm$