Lösungen zum Übungsblatt zum Satz des Pythagoras: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei den folgenden Übungen ist es wichtig, dass du folgendes Schema beachtest:<br />
 
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*Dreieck auf einen rechten Winkel untersuchen<br />
 
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*Lage der Hypotenuse bestimmen<br />
 
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*Formel für das Dreieck ansetzen
 
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<span style="color: green">'''Arbeitsauftrag:'''</span>
 
<span style="color: green">'''Arbeitsauftrag:'''</span>
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*'''Übertrage das Schema unter der Überschrift "Schema zum rechnen in rechtwinkligen Dreiecken" in dein Heft'''
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*Hole dir das '''Übungsblatt zum Satz des Pythagoras'''
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*Berechne die einzelnen Aufgaben
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*Berechne in den folgenden Aufgaben die fehlenden Seiten mit Hilfe das Satzes des Pythagoras
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*Vergleiche deine Lösungen mit denen auf der Seite
 
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Zunächst ein '''Beispiel''' wie du die Aufgaben lösen solltest:
 
  
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==Aufgabe 1==
 
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{{Lösung versteckt|
 
{{Lösung versteckt|
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*Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck
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*Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, da der fehlende Winkel 89,97° beträgt
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*Die Hypotenuse (d) ist 5cm lang, Kathete<sub>1</sub> (f) ist 4,26cm lang Kathete<sub>2</sub> (e) ist gesucht
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*Man kann den Satz des Pythagoras also nicht anwenden da es sich um kein rechtwinkliges Dreieck handelt
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*<math>{(5cm)^2=(4,26cm)^2+e^2\,}</math>
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}}
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*<math>{e^2=(5cm)^2-(4,26cm)^2\,}</math>
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*<math>e=\sqrt{(5cm)^2-(4,26cm)^2}\approx2,62cm</math>
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*Die gesuchte Kathete ist rund 2,62cm lang}}
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*<math>{u^2=(2,86cm)^2+(3,38cm)^2\,}</math>
 
*<math>{u^2=(2,86cm)^2+(3,38cm)^2\,}</math>
 
*<math>u=\sqrt{(2,86cm)^2+(3,38cm)^2}\approx4,43cm</math>
 
*<math>u=\sqrt{(2,86cm)^2+(3,38cm)^2}\approx4,43cm</math>
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*Die Hypotenuse (u) ist rund 4,43cm lang}}
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*Die Hypotenuse (u) ist etwa 4,43cm lang}}
 
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Bist du schon fertig? Dann erfährst du [[Satz des Pythagoras 3|hier]] was das alles mit dem Stahlseil an der Brücke zu tun hat.
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== Aufgabe 2==
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{{Lösung versteckt|
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Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck<br /><br />
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Die Katheten sind <math>{s\,}</math> und <math>{r_E\,}</math>, die Hypotenuse hat die Länge <math>{(r_E+h)\,}</math><br />
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Daraus ergibt sich der Ansatz:<br />
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*<math>{(r_E+h)^2=s^2+r_E^2\,}</math>
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*<math>{s^2=(r_E+h)^2-r_E^2\,}</math>
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*<math>s=\sqrt{(r_E+h)^2-r_E^2}</math>
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*<math>s \approx 9443,52m</math>
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}}<br />
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== Aufgabe 3==
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{{Lösung versteckt|
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[[Bild:Grafik zu Aufgabe 3 Pythagoras.png]]
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*In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang
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*Die Höhe teilt die Seite d in zwei gleich große Teile
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*<math>{x\,}</math> sei die Länge der Seiten
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*Dann ist <math>\overline{SE}=\frac{1}{2} \cdot x</math>
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*Damit kann man für das rechtwinklige Dreieck <math>\triangle{DES}</math> den Satz des Pythagoras ansetzen:
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*<math>h_d^2+(\frac{x}{2})^2=x^2</math>
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*<math>h_d^2+\frac{x^2}{4}=x^2</math>
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*<math>h_d^2=\frac{3}{4} \cdot x^2</math>
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*<math>x^2=\frac{4}{3} \cdot h_d^2</math>
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*<math>x=\sqrt{\frac{4}{3} \cdot h_d^2}</math>
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*<math>x=\sqrt{\frac{4}{3} \cdot (\sqrt{3})^2}</math>
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*<math>x=\sqrt{\frac{4}{3} \cdot 3}</math>
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*<math>x=\sqrt{4}=2</math>
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Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so: <math>A_D=\frac{1}{2} \cdot G \cdot h</math>
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*<math>{G=x=2\,}</math> , <math>h=h_D=\sqrt{3}</math>
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*<math>A_{CDE}=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}</math>
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*<math>A_{CDE}=\sqrt{3}</math>
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Wenn du fertig mit den Aufgaben bist, geht es [[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Abzählmethode|hier]] weiter.

Aktuelle Version vom 24. Januar 2009, 19:34 Uhr

Arbeitsauftrag:

  • Hole dir das Übungsblatt zum Satz des Pythagoras
  • Berechne die einzelnen Aufgaben
  • Vergleiche deine Lösungen mit denen auf der Seite

Aufgabe 1

Aufgabe zum Satz des Pythagoras Beispiel.png

  • Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, da 180° - 36,87° - 53,13° = 90°
  • Kathete1 (c) ist 3cm und Kathete2 (d) ist 4cm lang
  • Die Hypotenuse (e) ist gesucht
  • {e^2=3^2+4^2\,}
  • {e^2=25\,}
  • e=\sqrt{25}=5
  • Die Hypotenuse ist 5cm lang

Aufgabe zum Satz des Pythagoras 1.png

  • Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, da der fehlende Winkel 89,97° beträgt
  • Man kann den Satz des Pythagoras also nicht anwenden da es sich um kein rechtwinkliges Dreieck handelt

Aufgabe zum Satz des Pythagoras 3.png

  • Es handelt sich um kein rechtwinkliges Dreieck, da der dritte Winkel im Dreieck 89° beträgt
  • Der Satz des Pythagoras kann also nicht angewendet werden, da nur eine Verwendung in rechtwinkligen Dreiecken möglich ist

Aufgabe zum Satz des Pythagoras 2.png

  • Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck
  • Die Hypotenuse (u) wird gesucht, Kathete1 (w) ist 2,86cm und Kathete2 (v) ist 3,38cm lang
  • {u^2=(2,86cm)^2+(3,38cm)^2\,}
  • u=\sqrt{(2,86cm)^2+(3,38cm)^2}\approx4,43cm
  • Die Hypotenuse (u) ist etwa 4,43cm lang

Aufgabe 2

Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck

Die Katheten sind {s\,} und {r_E\,}, die Hypotenuse hat die Länge {(r_E+h)\,}

Daraus ergibt sich der Ansatz:

  • {(r_E+h)^2=s^2+r_E^2\,}
  • {s^2=(r_E+h)^2-r_E^2\,}
  • s=\sqrt{(r_E+h)^2-r_E^2}
  • s \approx 9443,52m

Aufgabe 3

Grafik zu Aufgabe 3 Pythagoras.png

  • In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang
  • Die Höhe teilt die Seite d in zwei gleich große Teile
  • {x\,} sei die Länge der Seiten
  • Dann ist \overline{SE}=\frac{1}{2} \cdot x
  • Damit kann man für das rechtwinklige Dreieck \triangle{DES} den Satz des Pythagoras ansetzen:
  • h_d^2+(\frac{x}{2})^2=x^2
  • h_d^2+\frac{x^2}{4}=x^2
  • h_d^2=\frac{3}{4} \cdot x^2
  • x^2=\frac{4}{3} \cdot h_d^2
  • x=\sqrt{\frac{4}{3} \cdot h_d^2}
  • x=\sqrt{\frac{4}{3} \cdot (\sqrt{3})^2}
  • x=\sqrt{\frac{4}{3} \cdot 3}
  • x=\sqrt{4}=2

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so: A_D=\frac{1}{2} \cdot G \cdot h

  • {G=x=2\,} , h=h_D=\sqrt{3}
  • A_{CDE}=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}
  • A_{CDE}=\sqrt{3}


Wenn du fertig mit den Aufgaben bist, geht es hier weiter.

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