Lösungen für das Übungsblatt zum Höhensatz (Aufgaben 1-6)

Hole dir das Übungsblatt zum Höhensatz

Aufgabe 1

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Im Dreieck $\triangle{EFG}$ ist ${g\,}$ die Hypotenuse (vergleiche den Hinweis auf dem Übungsblatt)
Damit kann man den Satz des Pythagoras ansetzen um die Länge von ${g\,}$ zu berechnen
${g^2=e^2+f^2}$
$g=\sqrt{e^2+f^2}$
$g=\sqrt{(7cm)^2+(4cm)^2}$
$g=\sqrt{65}cm$
$g \approx 8,06cm$
Jetzt kann man die Länge des zweiten Hypotenusenabschnittes ausrechnen
${p=g-q\,}$
${p=8,06cm-1,98cm\,}$
${p=6,08cm\,}$
Da man nun beide Hypotenusenabschnitte kennt kann man den Höhensatz ansetzen
$h_g^2=p \cdot q$
$h_g=\sqrt{p \cdot q}$
$h_g=\sqrt{8,06cm \cdot 1,98cm}$
$h_g \approx 3,47cm$
Da man nun die Hypotenuse und die Höhe kennt kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
$A_D=\frac{1}{2} \cdot G \cdot h$
$A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A_D=\frac{1}{2} \cdot 8,06cm \cdot 3,47cm$
$A_D \approx 13,99cm^2$

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Da Hypotenuse (m) und ein Hypotenusenabschnitt (t) gegeben sind kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt (x) berechnen
${x=m-t\,}$
${x=8,4cm-3,7cm\,}$
${x=4,7cm\,}$
Da jetzt die beiden Hypotenusenabschnitte bekannt sind kann man die Höhe berechnen
$h_m^2=t \cdot x$
$h_m=\sqrt{t \cdot x}$
$h_m=\sqrt{3,7cm \cdot 4,7cm}$
$h_m \approx 4,17cm$
Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke (vergleiche den Beweis zum Höhensatz)
In jedem der beiden kleineren rechtwinkligen Dreiecke kann man die Kathete über den Satz des Pythagoras berechnen
${Kathete^2=Hypotenusenabschnitt^2+h_m^2\,}$
Kathete 1
$Kathete_1=\sqrt{x^2+h_m^2}$
$Kathete_1=\sqrt{(4,7cm)^2+(4,17cm)^2}$
$Kathete_1 \approx 6,28cm$
Kathete 2
$Kathete_2=\sqrt{t^2+h_m^2}$
$Kathete_2=\sqrt{(3,7cm)^2+(4,17cm)^2}$
$Kathete_2 \approx 5,57cm$

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Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke
Man kann über den Satz des Pythagoras die Länge eines der beiden Hypotenusenabschnitte ausrechnen
Wähle ${Hypotenusenabschnitt_1=x\,}$
${c^2=x^2+h_b^2\,}$
${x^2=c^2-h_b^2\,}$
$x=\sqrt{c^2+h_b^2}$
$x=\sqrt{(4cm)^2+(\sqrt{7}cm)^2}$
$x=\sqrt{23}cm \approx 4,80cm$
Nun kennt man einen Hypotenusenabschnitt und die Hypotenuse
Damit kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt berechnen
Wähle ${Hypotenusenabschnitt_2=y\,}$
${y=b-x\,}$
${y=7cm-4,8cm=3,2cm\,}$
Die Kathete d kann man über den Satz des Pythagoras berechnen
${b^2=c^2+d^2\,}$
${d^2=b^2-c^2\,}$
$d=\sqrt{b^2-c^2}$
$d=\sqrt{(7cm^2)-(4cm)^2}$
$d=\sqrt{56}cm \approx 7,48cm$