Lösungen für das Übungsblatt zum Höhensatz (Aufgaben 1-6): Unterschied zwischen den Versionen

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*Bei dem gegebenen Dreieck handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck
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*Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck auf die Basis teilt diese in zwei große Teile
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*Im gegebenen Dreieck ist die Hypotenuse die Basis, da die Katheten gleich lang sind und damit die Schenkel sein müssen
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*Man kann die Länge der Hypotenuse über den Satz des Pythagoras berechnen
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*Wähle <math>{Hypotenuse=a\,}</math>
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*<math>{a^2=(4cm)^2+(4cm)^2\,}</math>
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*<math>a=\sqrt{(4cm)^2+(4cm)^2}=\sqrt{32}cm \approx 7,48cm</math><br /><br />
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*Aufgrund der speziellen Eigenschaften in gleichschenkligen Dreiecken kann man die Länge der beiden Hypotenusenabschnitte berechnen
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*Beide Hypotenusenabschnitte sind gleich und haben die halbe Länge der Hypotenuse
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*<math>Hypotenusenabschnitt_{1/2}=\frac{a}{2}</math>
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*<math>Hypotenusenabschnitt_{1/2}=\frac{7,48cm}{2}</math>
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*<math>{Hypotenusenabschnitt_{1/2}=3,74cm\,}</math><br /><br />
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*Mit den beiden Hypotenusenabschnitten kann man nun die Höhe berechnen
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*<math>h^2=Hypotenusenabschnitt_1 \cdot Hypotenusenabschnitt_2</math>
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*<math>h=\sqrt{Hypotenusenabschnitt_1 \cdot Hypotenusenabschnitt_2}</math>
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*<math>h=\sqrt{3,74cm \cdot 3,74cm}</math>
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*<math>h=\sqrt{14}cm \approx 3,74cm</math>
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*<math>h=\frac{a}{2}</math>
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*Der Abstand berechnet sich über den Satz des Pythagoras (wenn du dich nicht mehr erinnern konntest wiederhole das Kapitel entweder mit Hilfe des Lernpfades oder lies dir noch ein mal deinen Hefteintrag zum Thema durch)
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*<math>d=\sqrt{(14-(-7))^2+(3-9)^2}</math>
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*<math>d=\sqrt{21^2+(-6)^2}</math>
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*<math>d=\sqrt{477} \approx 21,84</math>
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== Aufgabe 6==
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a) {{Lösung versteckt|
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*<math>{46^\circ+43^\circ=89^\circ\,}</math>, d.h. der dritte Winkel ist nicht <math>90^\circ</math>, also ist das Dreieck nicht rechtwinklig
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*Der Satz des Pythagoras kann nicht angewendet werden
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b) {{Lösung versteckt|
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*Der fehlende Winkel beträgt <math>90^\circ</math>, da <math>180^\circ-52^\circ-38^\circ=90^\circ</math>
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*Man kann also den Höhensatz anwenden
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*Die Länge des fehlenden Hypotenusenabschnitts beträgt <math>{Hypotenuse-Hypotenusenabschnitt_1=4cm-1,5cm=2,5cm\,}</math>
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*Man kann nun die Höhe über den Höhensatz berechnen
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*<math>h^2=1,5cm \cdot 2,5cm</math>
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*<math>h=\sqrt{3,75cm^2} \approx 1,93cm</math>
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c) {{Lösung versteckt|
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*Es ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, also kann man die Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras anwenden
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*b ist die Hypotenuse, da b die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks ist
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*Damit kann man den Satz des Pythagoras ansetzen
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*<math>{b^2=a^2+c^2\,}</math>
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*<math>{c^2=b^2-a^2\,}</math>
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*<math>c=\sqrt{b^2-a^2}</math>
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*<math>c=\sqrt{(10cm)^2-(6cm)^2}=\sqrt{64cm^2}=8cm</math>
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Wenn du fertig bist geht es [[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Umwandlung Rechteck in Quadrat|hier]] zu einer Anwendung des Höhensatzes
 
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Version vom 6. Dezember 2008, 19:35 Uhr

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Aufgabe 1

  • Im Dreieck \triangle{EFG} ist {g\,} die Hypotenuse (vergleiche den Hinweis auf dem Übungsblatt)
  • Damit kann man den Satz des Pythagoras ansetzen um die Länge von {g\,} zu berechnen
  • {g^2=e^2+f^2}
  • g=\sqrt{e^2+f^2}
  • g=\sqrt{(7cm)^2+(4cm)^2}
  • g=\sqrt{65}cm
  • g \approx 8,06cm

  • Jetzt kann man die Länge des zweiten Hypotenusenabschnittes ausrechnen
  • {p=g-q\,}
  • {p=8,06cm-1,98cm\,}
  • {p=6,08cm\,}

  • Da man nun beide Hypotenusenabschnitte kennt kann man den Höhensatz ansetzen
  • h_g^2=p \cdot q
  • h_g=\sqrt{p \cdot q}
  • h_g=\sqrt{8,06cm \cdot 1,98cm}
  • h_g \approx 3,47cm

  • Da man nun die Hypotenuse und die Höhe kennt kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
  • A_D=\frac{1}{2} \cdot G \cdot h
  • A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g
  • A_D=\frac{1}{2} \cdot 8,06cm \cdot 3,47cm
  • A_D \approx 13,99cm^2


Aufgabe 2

  • Da Hypotenuse (m) und ein Hypotenusenabschnitt (t) gegeben sind kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt (x) berechnen
  • {x=m-t\,}
  • {x=8,4cm-3,7cm\,}
  • {x=4,7cm\,}

  • Da jetzt die beiden Hypotenusenabschnitte bekannt sind kann man die Höhe berechnen
  • h_m^2=t \cdot x
  • h_m=\sqrt{t \cdot x}
  • h_m=\sqrt{3,7cm \cdot 4,7cm}
  • h_m \approx 4,17cm

  • Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke (vergleiche den Beweis zum Höhensatz)
  • In jedem der beiden kleineren rechtwinkligen Dreiecke kann man die Kathete über den Satz des Pythagoras berechnen
  • {Kathete^2=Hypotenusenabschnitt^2+h_m^2\,}

  • Kathete 1
  • Kathete_1=\sqrt{x^2+h_m^2}
  • Kathete_1=\sqrt{(4,7cm)^2+(4,17cm)^2}
  • Kathete_1 \approx 6,28cm
  • Kathete 2
  • Kathete_2=\sqrt{t^2+h_m^2}
  • Kathete_2=\sqrt{(3,7cm)^2+(4,17cm)^2}
  • Kathete_2 \approx 5,57cm


Aufgabe 3

  • Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke
  • Man kann über den Satz des Pythagoras die Länge eines der beiden Hypotenusenabschnitte ausrechnen
  • Wähle {Hypotenusenabschnitt_1=x\,}
  • {c^2=x^2+h_b^2\,}
  • {x^2=c^2-h_b^2\,}
  • x=\sqrt{c^2+h_b^2}
  • x=\sqrt{(4cm)^2+(\sqrt{7}cm)^2}
  • x=\sqrt{23}cm \approx 4,80cm

  • Nun kennt man einen Hypotenusenabschnitt und die Hypotenuse
  • Damit kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt berechnen
  • Wähle {Hypotenusenabschnitt_2=y\,}
  • {y=b-x\,}
  • {y=7cm-4,8cm=3,2cm\,}

  • Die Kathete d kann man über den Satz des Pythagoras berechnen
  • {b^2=c^2+d^2\,}
  • {d^2=b^2-c^2\,}
  • d=\sqrt{b^2-c^2}
  • d=\sqrt{(7cm^2)-(4cm)^2}
  • d=\sqrt{56}cm \approx 7,48cm


Aufgabe 4

  • Bei dem gegebenen Dreieck handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck
  • Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck auf die Basis teilt diese in zwei große Teile
  • Im gegebenen Dreieck ist die Hypotenuse die Basis, da die Katheten gleich lang sind und damit die Schenkel sein müssen
  • Man kann die Länge der Hypotenuse über den Satz des Pythagoras berechnen
  • Wähle {Hypotenuse=a\,}
  • {a^2=(4cm)^2+(4cm)^2\,}
  • a=\sqrt{(4cm)^2+(4cm)^2}=\sqrt{32}cm \approx 7,48cm

  • Aufgrund der speziellen Eigenschaften in gleichschenkligen Dreiecken kann man die Länge der beiden Hypotenusenabschnitte berechnen
  • Beide Hypotenusenabschnitte sind gleich und haben die halbe Länge der Hypotenuse
  • Hypotenusenabschnitt_{1/2}=\frac{a}{2}
  • Hypotenusenabschnitt_{1/2}=\frac{7,48cm}{2}
  • {Hypotenusenabschnitt_{1/2}=3,74cm\,}

  • Mit den beiden Hypotenusenabschnitten kann man nun die Höhe berechnen
  • h^2=Hypotenusenabschnitt_1 \cdot Hypotenusenabschnitt_2
  • h=\sqrt{Hypotenusenabschnitt_1 \cdot Hypotenusenabschnitt_2}
  • h=\sqrt{3,74cm \cdot 3,74cm}
  • h=\sqrt{14}cm \approx 3,74cm
  • h=\frac{a}{2}


Aufgabe 5

  • Der Abstand berechnet sich über den Satz des Pythagoras (wenn du dich nicht mehr erinnern konntest wiederhole das Kapitel entweder mit Hilfe des Lernpfades oder lies dir noch ein mal deinen Hefteintrag zum Thema durch)
  • d=\sqrt{(14-(-7))^2+(3-9)^2}
  • d=\sqrt{21^2+(-6)^2}
  • d=\sqrt{477} \approx 21,84


Aufgabe 6

a)

  • {46^\circ+43^\circ=89^\circ\,}, d.h. der dritte Winkel ist nicht 90^\circ, also ist das Dreieck nicht rechtwinklig
  • Der Satz des Pythagoras kann nicht angewendet werden

b)

  • Der fehlende Winkel beträgt 90^\circ, da 180^\circ-52^\circ-38^\circ=90^\circ
  • Man kann also den Höhensatz anwenden
  • Die Länge des fehlenden Hypotenusenabschnitts beträgt {Hypotenuse-Hypotenusenabschnitt_1=4cm-1,5cm=2,5cm\,}
  • Man kann nun die Höhe über den Höhensatz berechnen
  • h^2=1,5cm \cdot 2,5cm
  • h=\sqrt{3,75cm^2} \approx 1,93cm

c)

  • Es ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, also kann man die Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras anwenden
  • b ist die Hypotenuse, da b die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks ist
  • Damit kann man den Satz des Pythagoras ansetzen
  • {b^2=a^2+c^2\,}
  • {c^2=b^2-a^2\,}
  • c=\sqrt{b^2-a^2}
  • c=\sqrt{(10cm)^2-(6cm)^2}=\sqrt{64cm^2}=8cm


Wenn du fertig bist geht es hier zu einer Anwendung des Höhensatzes

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