Lösungen für das Übungsblatt zum Höhensatz (Aufgaben 1-6): Unterschied zwischen den Versionen
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+ | *Im Dreieck <math>\triangle{EFG}</math> ist <math>{g\,}</math> die Hypotenuse (vergleiche den Hinweis auf dem Übungsblatt) | ||
+ | *Damit kann man den Satz des Pythagoras ansetzen um die Länge von <math>{g\,}</math> zu berechnen | ||
+ | *<math>{g^2=e^2+f^2}</math> | ||
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+ | *<math>g=\sqrt{(7cm)^2+(4cm)^2}</math> | ||
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+ | *<math>g \approx 8,06cm</math><br /><br /> | ||
+ | *Jetzt kann man die Länge des zweiten Hypotenusenabschnittes ausrechnen | ||
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+ | *<math>{p=8,06cm-1,98cm\,}</math> | ||
+ | *<math>{p=6,08cm\,}</math><br /><br /> | ||
+ | *Da man nun beide Hypotenusenabschnitte kennt kann man den Höhensatz ansetzen | ||
+ | *<math>h_g^2=p \cdot q</math> | ||
+ | *<math>h_g=\sqrt{p \cdot q}</math> | ||
+ | *<math>h_g=\sqrt{8,06cm \cdot 1,98cm}</math> | ||
+ | *<math>h_g \approx 3,47cm</math><br /><br /> | ||
+ | *Da man nun die Hypotenuse und die Höhe kennt kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen | ||
+ | *<math>A_D=\frac{1}{2} \cdot G \cdot h</math> | ||
+ | *<math>A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g</math> | ||
+ | *<math>A_D=\frac{1}{2} \cdot 8,06cm \cdot 3,47cm</math> | ||
+ | *<math>A_D \approx 13,99cm^2</math> | ||
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+ | == Aufgabe 2== | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | *Da Hypotenuse (m) und ein Hypotenusenabschnitt (t) gegeben sind kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt (x) berechnen | ||
+ | *<math>{x=m-t\,}</math> | ||
+ | *<math>{x=8,4cm-3,7cm\,}</math> | ||
+ | *<math>{x=4,7cm\,}</math><br /><br /> | ||
+ | *Da jetzt die beiden Hypotenusenabschnitte bekannt sind kann man die Höhe berechnen | ||
+ | *<math>h_m^2=t \cdot x</math> | ||
+ | *<math>h_m=\sqrt{t \cdot x}</math> | ||
+ | *<math>h_m=\sqrt{3,7cm \cdot 4,7cm}</math> | ||
+ | *<math>h_m \approx 4,17cm</math><br /><br /> | ||
+ | *Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke (vergleiche den Beweis zum Höhensatz) | ||
+ | *In jedem der beiden kleineren rechtwinkligen Dreiecke kann man die Kathete über den Satz des Pythagoras berechnen | ||
+ | *<math>{Kathete^2=Hypotenusenabschnitt^2+h_m^2\,}</math><br /><br /> | ||
+ | *'''Kathete 1''' | ||
+ | *<math>Kathete_1=\sqrt{x^2+h_m^2}</math> | ||
+ | *<math>Kathete_1=\sqrt{(4,7cm)^2+(4,17cm)^2}</math> | ||
+ | *<math>Kathete_1 \approx 6,28cm</math> | ||
+ | *'''Kathete 2''' | ||
+ | *<math>Kathete_2=\sqrt{t^2+h_m^2}</math> | ||
+ | *<math>Kathete_2=\sqrt{(3,7cm)^2+(4,17cm)^2}</math> | ||
+ | *<math>Kathete_2 \approx 5,57cm</math> | ||
+ | }} | ||
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+ | == Aufgabe 3== | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | *Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke | ||
+ | *Man kann über den Satz des Pythagoras die Länge eines der beiden Hypotenusenabschnitte ausrechnen | ||
+ | *Wähle <math>{Hypotenusenabschnitt_1=x\,}</math> | ||
+ | *<math>{c^2=x^2+h_b^2\,}</math> | ||
+ | *<math>{x^2=c^2-h_b^2\,}</math> | ||
+ | *<math>x=\sqrt{c^2+h_b^2}</math> | ||
+ | *<math>x=\sqrt{(4cm)^2+(\sqrt{7}cm)^2}</math> | ||
+ | *<math>x=\sqrt{23}cm \approx 4,80cm</math><br /><br /> | ||
+ | *Nun kennt man einen Hypotenusenabschnitt und die Hypotenuse | ||
+ | *Damit kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt berechnen | ||
+ | *Wähle <math>{Hypotenusenabschnitt_2=y\,}</math> | ||
+ | *<math>{y=b-x\,}</math> | ||
+ | *<math>{y=7cm-4,8cm=3,2cm\,}</math><br /><br /> | ||
+ | *Die Kathete d kann man über den Satz des Pythagoras berechnen | ||
+ | *<math>{b^2=c^2+d^2\,}</math> | ||
+ | *<math>{d^2=b^2-c^2\,}</math> | ||
+ | *<math>d=\sqrt{b^2-c^2}</math> | ||
+ | *<math>d=\sqrt{(7cm^2)-(4cm)^2}</math> | ||
+ | *<math>d=\sqrt{56}cm \approx 7,48cm</math> | ||
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Wenn du fertig bist geht es [[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Umwandlung Rechteck in Quadrat|hier]] zu einer Anwendung des Höhensatzes | Wenn du fertig bist geht es [[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Umwandlung Rechteck in Quadrat|hier]] zu einer Anwendung des Höhensatzes |
Version vom 6. Dezember 2008, 19:03 Uhr
Hole dir das Übungsblatt zum Höhensatz
Aufgabe 1
- Im Dreieck ist die Hypotenuse (vergleiche den Hinweis auf dem Übungsblatt)
- Damit kann man den Satz des Pythagoras ansetzen um die Länge von zu berechnen
- Jetzt kann man die Länge des zweiten Hypotenusenabschnittes ausrechnen
- Da man nun beide Hypotenusenabschnitte kennt kann man den Höhensatz ansetzen
- Da man nun die Hypotenuse und die Höhe kennt kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Aufgabe 2
- Da Hypotenuse (m) und ein Hypotenusenabschnitt (t) gegeben sind kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt (x) berechnen
- Da jetzt die beiden Hypotenusenabschnitte bekannt sind kann man die Höhe berechnen
- Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke (vergleiche den Beweis zum Höhensatz)
- In jedem der beiden kleineren rechtwinkligen Dreiecke kann man die Kathete über den Satz des Pythagoras berechnen
- Kathete 1
- Kathete 2
Aufgabe 3
- Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke
- Man kann über den Satz des Pythagoras die Länge eines der beiden Hypotenusenabschnitte ausrechnen
- Wähle
- Nun kennt man einen Hypotenusenabschnitt und die Hypotenuse
- Damit kann man den zweiten Hypotenusenabschnitt berechnen
- Wähle
- Die Kathete d kann man über den Satz des Pythagoras berechnen
Wenn du fertig bist geht es hier zu einer Anwendung des Höhensatzes