Abzählmethode

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Der Satz des Pythagoras

Rechtwinkliges Dreieck.png

In rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt der Satz des Pythagoras:

{Kathete_a^2+Kathete_b^2=Hypotenuse^2\,}

→ Mit {Kathete_a=a\,}, {Kathete_b=b\,} und {Hypotenuse=c\,}:

{a^2+b^2=c^2\,}


Arbeitsauftrag:

  • Zeichne das rechtwinklige Dreieck \triangle{ABC} ab
  • Notiere dir den Satz des Pythagoras: {a^2+b^2=c^2\,}


Die Abzählmethode

Es gibt neben dem Zerlegungsbeweis noch einen anderen Beweis zum Satz des Pythagoras.

Dieser funktioniert jedoch nur in rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligen Seitenlängen!

Ganze Zahlen a, b und c, die die Gleichung {a^2+b^2=c^2\,} erfüllen, nennt man ein pythagoräisches Zahlentipel


Man braucht also ein pythagoräisches Zahlentripel für die Abzählmethode.

Einige pythagoräische Zahlentripel sind:


Kathetea 3 6 5 7
Katheteb 4 8 12 24
Hypotenuse 5 10 13 25


In der folgenden Zeichnung siehst du ein rechtwinkliges Dreieck mit einem pythagoräischen Zahlentripel als Seitenlängen:

Arbeitsauftrag:

  • Zähle die einzelnen kleinen Quadrate ab, die in den Quadraten über den Katheten eingezeichnet sind
  • Versuche mit den kleinen Quadraten das Quadrat über der Hypotenuse zu füllen
  • Was fällt dir auf?


Abzählmethode.png


  • Man kann die kleinen Quadrate von den Quadraten über den Katheten im Quadrat über der Hypotenuse verteilen

Abzählmethode Lösung.png

  • Man sieht also dass sich die Quadrate über den Katheten auf das Quadrat über der Hypotenuse verteilen lassen
  • d.h. {Kathete_a^2+Kathete_b^2=Hypotenuse^2\,}
  • Du hast damit den Satz des Pythagoras bewiesen!


Wenn du fertig bist geht es hier mit dem Brückenproblem weiter.
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