Abzählmethode: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>{Kathete_a^2+Kathete_b^2=Hypotenuse^2\,}</math><br /><br /> | <math>{Kathete_a^2+Kathete_b^2=Hypotenuse^2\,}</math><br /><br /> | ||
| − | → | + | → Allgemein gilt in '''jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck, mit''' <math>{Kathete_a=a\,}</math>, <math>{Kathete_b=b\,}</math> '''und''' <math>{Hypotenuse=c\,}</math>: |
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Dieser funktioniert jedoch '''nur''' in rechtwinkligen Dreiecken mit '''ganzzahligen Seitenlängen'''!<br /><br /> | Dieser funktioniert jedoch '''nur''' in rechtwinkligen Dreiecken mit '''ganzzahligen Seitenlängen'''!<br /><br /> | ||
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| − | Ganze Zahlen a, b und c, die die Gleichung <math>{a^2+b^2=c^2\,}</math> erfüllen, nennt man ein '''pythagoräisches Zahlentipel''' | + | Ganze Zahlen a, b und c, die den Satz des Pythagoras, also die Gleichung <math>{a^2+b^2=c^2\,}</math> erfüllen, nennt man ein '''pythagoräisches Zahlentipel''' |
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| − | In der folgenden Zeichnung siehst du ein rechtwinkliges Dreieck mit einem pythagoräischen Zahlentripel als Seitenlängen:<br /> | + | In der folgenden Zeichnung siehst du ein rechtwinkliges Dreieck mit einem pythagoräischen Zahlentripel als Seitenlängen. Die Quadrate über den Katheten und der Hypotenuse sind in gleichgroße Quadrate mit der Seitenlänge 1 aufgeteilt:<br /><br /> |
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Version vom 1. Dezember 2008, 10:05 Uhr
Der Satz des Pythagoras
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In rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt der Satz des Pythagoras:
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, 
und 
:
Arbeitsauftrag:
- Zeichne das rechtwinklige Dreieck
ab
- Notiere dir den Satz des Pythagoras:
Die Abzählmethode
Es gibt neben dem Zerlegungsbeweis noch einen anderen Beweis zum Satz des Pythagoras.
Dieser funktioniert jedoch nur in rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligen Seitenlängen!
Ganze Zahlen a, b und c, die den Satz des Pythagoras, also die Gleichung erfüllen, nennt man ein pythagoräisches Zahlentipel
Man braucht also ein pythagoräisches Zahlentripel für die Abzählmethode.
Einige pythagoräische Zahlentripel sind:
| Kathetea | 3 | 6 | 5 | 7 |
| Katheteb | 4 | 8 | 12 | 24 |
| Hypotenuse | 5 | 10 | 13 | 25 |
In der folgenden Zeichnung siehst du ein rechtwinkliges Dreieck mit einem pythagoräischen Zahlentripel als Seitenlängen. Die Quadrate über den Katheten und der Hypotenuse sind in gleichgroße Quadrate mit der Seitenlänge 1 aufgeteilt:
Arbeitsauftrag:
- Zähle die einzelnen kleinen Quadrate ab, die in den Quadraten über den Katheten eingezeichnet sind
- Versuche mit den kleinen Quadraten das Quadrat über der Hypotenuse zu füllen
- Was fällt dir auf?
- Man kann die kleinen Quadrate von den Quadraten über den Katheten im Quadrat über der Hypotenuse verteilen
- Man sieht also dass sich die Quadrate über den Katheten auf das Quadrat über der Hypotenuse verteilen lassen
- d.h.
- Du hast damit den Satz des Pythagoras bewiesen!
