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| | + | ===Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion=== |
| | + | [[Bild:Raulprahovalabreaza.jpg|250px|right]] |
| | + | '''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span> |
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| | + | :Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man '''die Fläche unter der Funktion'''. Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel. |
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| − | ==Angabe== | + | :Hier siehst du ein Beispiel dazu. |
| | + | <popup name="Beispiel"> |
| | + | [[Bild:Integral.jpg|right]] |
| | + | :Hier lässt sich die Fläche unter dem Graphen leicht ausrechnen. Man summiert die <span style="color: red">Quadratfläche</span> und die <span style="color: green">Dreiecksfläche</span> und erhält somit die komplette Fläche unter dem Graphen. |
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| − | [[Bild:Eilif_Peterssen-_Sevilosen.jpg|250px|right]]
| + | :<span style="color: red">Quadratfläche</span>:<math>4^2 = 16</math> |
| − | Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar f<sub>a</sub> mit <math>f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t</math>, a > 0
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| − | Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 10<sup>6</sup><math>\frac{m^3}{Monat}</math> und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage
| + | :<span style="color: green">Dreieckfläche</span>:<math>\frac{1}{2} * 4 * 2 = 4</math> |
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| − | (t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.
| + | :<math>\Rightarrow 16 + 4 = 20</math> |
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| − | ===Aufgabe: Nullstellen===
| + | :<u>Die markierte Fläche unter dem Graphen hat einen Flächeinhalt von 20.</u> |
| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.</span>'''''
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| − | Es sind die Zeitpunkte gesucht, an denen der y - Wert ''Kubikmeter in Millionen'' gleich Null ist. An dieser Nullstelle fließt also kein Wasser durch den Fluss. ''Folglich ist f<sub>a</sub> (t) = 0 zu setzen''.
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Was fällt auf, wenn man mit Hilfe des Schiebereglers den Parameter a verändert?</span>''
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| − | <popup name="Applet">
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| − | <ggb_applet width="800" height="600" filename="Nullstellenaufgabe.ggb" showResetIcon="true" />
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| − | </popup>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | :Jede Funktion <math>f(x)</math> , unabhängig vom Parameter a, schneidet den Ursprung. Das ist die erste Nullstelle, welche der Graph besitzt. Sie ist also '''unabhänig von a''' Dies kann man leicht aus der Funktion ablesen, da man eben diese Nullstelle durch einfaches Ausklammern erhält.
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| − | :<math>f(t) = t (\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2) \rightarrow t_1 = 0 \Rightarrow N_1\left( 0 / 0 \right) </math>
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| − | :Die andere Nullstelle wird mit wachsendem Parameter a immer weiter vom Ursprung entfernt. Sie ist also '''abhängig von a'''. Sie ist, wie man im Applet sieht, eine doppelte Nullstelle, was heißt, dass sie an der Stelle einen Vorzeichenwechsel bezüglich der Steigung besitzt. Sie schneidet nicht die t - Achse, sie berührt sie nur. Löst man die Quadratische Gleichung mit Hilfe der [http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformeln Mitternachtsformel] erhält man die zweite Nullstelle.
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| − | :<math>\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2 \rightarrow t_2 = 2a \Rightarrow N_2\left( 2a / 0 \right) </math>
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| − | :<u>Der Fluss trocknet zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 2a aus, es fließt also kein Wasser durch den Fluss.</u>
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| − | }}
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| − | ===Aufgabe: Extremwerte===
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| − | [[Bild:Dry_river_bed_in_Scotland.jpg|300px|right]]
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.</span>
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| − | Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.
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| − | {|width=90%| style="background-color:#F4F4F4; border: 1px solid #58B9FF; padding:0.1em"
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| − | | valign="top" |
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| − | Die allgemeine Ableitungsregel ist: '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x</math><sup>n-1</sup>'''
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| − | |}
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion <math>f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t</math></span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
| + | </popup> |
| − | :<math>f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2</math>
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| − | }}
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| | + | :Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der '''Integralrechnung'''. Dazu wandelt man eine Funktion f (t) in F (t) um. |
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte.</span> | + | :'''Es muss gelten: F' (t) = f (t)''' |
| | + | {|width=90%| style="background-color:#F5F5F5; border: 1px solid #63B8FF; padding:0.5em" |
| | + | | valign="top" | |
| | + | :Die allgemeine Integrationsregel: <math>\int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^(n+1)}{n+1} \right]_{a}^{b}</math> |
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| | + | :a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert. |
| | + | |} |
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| − | ::Um die t - Werte der Extremwerte zu erhalten, setzt man die Funktion f '(t) = 0. Da man nun eine quadratischen Gleichung bekommt, kann man, mit Hilfe der "Mitternachtsformel", die beiden Lösungen ausrechnen. Schließlich setzt man die errechneten t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der Extremwerte E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub>. | + | ::<span style="color: darkblue">Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.</span> |
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| | ::{{Lösung versteckt|1= | | ::{{Lösung versteckt|1= |
| − | ::<math>\rightarrow t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> | + | ::<math>\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c</math> |
| − | ::<math>\rightarrow t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math>
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| − | }}
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| − | ::Am Schönsten sind die Extremwerte für a = 3 zu errechnen und graphisch zu sehen, da sich die Koordinaten
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| − | ::<math>E_1</math> ( 6 / 0 ) und <math>E_2</math> ( 2 / 8 ) ergeben.
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| − | <popup name="Funktionsgraph für a = 3">
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| − | [[Bild:Extremwerte für a=3.jpg|500px]]
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| − | </popup>
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| − | '''Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.'''
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| − | :<u>'''Lösung 1:''' ''Krümmungsverhalten an den Extremwerten''</u>
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| − | :Dazu setzt man einfach die t - Koordinate in die zweite Ableitung ein. Wird die zweite Ableitung '''größer Null''' ist es ein '''Minimum''' und die Funktion ist '''linksgekrümmt''', dass heißt es handelt sich um eine "Linkskurve". Ist die zweite Ableitung hingegen '''kleiner Null''', handelt es sich um eine '''Rechtskrümmung''' und um ein '''Maximum'''. Wäre die zweite Ableitung ''gleich Null'', handelt es sich bei dem Extremwert um einen ''Terassenpunkt'', dass heißt, dass die Steigung der Funktion ''keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle'' hat.
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::Die zweite Ableitung lautet: <math>f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a</math>
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| − | ::<math>f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a</math>
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| − | ::da a > 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum
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| − | ::<math>f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a</math>
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| − | ::<small>da a größer als Null definiert ist, gilt</small> <math>\rightarrow</math> - (a) < 0 <math>\rightarrow</math> Linkskrümmung <math> \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> '''ist Maximum
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| − | :<u>'''Lösung 2:''' ''h - Methode''</u>
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| − | :Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert verhält. Dazu nimmt man die erste Ableitung, setzt einmal f '(<math>2a - h</math>) und einmal f '(<math>2a + h</math>) ein, um das Verhalten von G<sub>f</sub> für t < 2a bzw t > 2a zu bestimmen. Ergibt sich hier je ein positiver und ein negativer Wert, weiß man, dass es sich um einen Extremwert handelt. Ist beispielsweise f '(<math>t_1 - h</math>) < 0 und f '(<math>t_1 + h</math>) > 0, dann liegt ein Minimum vor, da links vom Extremwert der Graph fällt, und rechts steigt. Wenn sich zweimal das gleiche Vorzeichen für t < 2a bzw t > 2a ergeben sollte, dann handelt es sich um keinen direkten Extremwert, sondern um einen, wie bereits in Lösung 1 beschriebenen, Terassenpunkt.
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| − | ::<span style="color: darkblue">Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0</math> und <math>\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0 </math>
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| − | ::<math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0</math> und <math>\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0</math>
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| − | Daraus ergibt sich nun folgendes, graphisches Monotonieverhalten.
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| − | <ggb_applet width="700" height="600" filename="Monotonie.ggb" showResetIcon="true" />
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| − | <math> \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)</math> '''ist Minimum
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| − | <math> \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)</math> '''ist Maximum
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| − | :<u>'''Lösung 3:''' ''Vorzeichentabelle''</u>
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| − | :Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Da mann die Nullstellen der ersten Ableitung kennt, kann man dies machen. Allgemein würde es heißen
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| − | ::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right)</math>,
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| − | :wobei t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die t - Werte des Extrempunktes sind.
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| − | :Nun stellt man eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch multiplizieren der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte.
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| − | ::<span style="color: darkblue">Zerlege die Ableitung in ein Produkt und verdeutliche mit Hilfe einer Vorzeichentabelle die Art der Extremwerte. </span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>f '(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2 = \left( x - 2a \right) * \left( x - \frac{2}{3}a \right) </math>
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| − | ::Vorzeichentabelle
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| − | [[Bild:Vorzeichentabelle1.jpg]]
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| − | ===Aufgabe: Wendepunkt===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.</span>
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| − | Hier ist der Punkt gesucht, '''an dem die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten absinkt.''' Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an, da diese die Steigung eines Graphen G<sub>f</sub> zeigt.
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| − | <popup name="Ableitungsfunktion">
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| − | Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt.
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| − | <ggb_applet width="800" height="600" filename="Wendepunktaufgabe.ggb" showResetIcon="true" />
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| − | </popup>
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| − | :Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht. Dazu setzt man die Ableitung von f '(t) gleich Null. Die Ableitung der Ableitung ist gleich der zweiten Ableitung der Funktion f (t). An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G<sub>f</sub> den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.
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| − | ::<span style="color: darkblue">Errechne die Koordinaten des Wendepunktes.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a</math>
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| − | ::<math>f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
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| − | ::<u>Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt</u> <math>WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
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| − | ::'''<u><span style="color: red">Merke:</span></u>''' Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.
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| − | ::<math>\Rightarrow f''(t_0) = 0</math>
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| − | ::<math>\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0</math>
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| − | ===Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von f<sub>a</sub> im Bereich <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.</span>'''''
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Begründe dies.</span>''
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::Es liegt kein Punkt im Intervall <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse, da es hier um '''eine Funktion mit realem Bezug''' geht. Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, dass '''eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegt'''. Dies ist nicht möglich, da sonst ein negatives Volumen an Wasser im Fluss vorhanden wäre. Deshalb ist kein Punkt der Funktionsgraphen f<sub>a</sub> im vierten Quadranten definiert.
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| − | :Um das Verhalten eines Graphen, welcher gegen <math>+ \infty</math> geht, zu bestimmen, wird statt f (t) <math>\lim_{t\to\infty} f (t)</math> geschrieben. Um nun bei einer Potenzfunktion den Grenzwert zu ermitteln, klammert man die höchste Potenz aus, erhält ein Produkt und kann somit leichter, als bei einer Summe, den Grenzwert bestimmen.
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| − | ::''<span style="color: darkblue">Bestimme das Verhalten von f<sub>a</sub> für <math>t \rightarrow \infty</math> angegeben werden.</span>''
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::<math>\lim_{t\to\infty} f (t) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2</math>
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| − | ::<math>\lim_{t\to\infty} t^3 \left( \frac{1}{4} - \frac{a}{t} + \frac{a^2}{t^2} \right)</math>
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| − | ::<math>\lim_{t\to\infty} \infty * \frac{1}{4} = \infty</math>
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| − | ::<u>Für</u><math> t\to\infty</math><u>geht die Funktion gegen</u> + <math> \infty</math>
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| − | :Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern, aufgrund des berechneten Grenzwertes in der vorherigen Aufgabe.
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, dass sie '''immer stärker ansteigt'''. Dies ist an der Parabel, welche die Steigung anzeigt, erkennbar. Da die Funktion f<sub>a</sub> (t) vorhersagen soll, wieviel Wasser sich zu einem Zeitpunkt t im Wasser befindet. Wenn man nun, anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) '''ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird'''.
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| − | ::Nehmen wir nun mal das Beispiel t = 24 und a = 3.
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| − | ::<math>\frac{1}{4}*24^3 - 24^2*3 + 24*3^2= 1944</math>
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| − | ::Da das Ergebnis in Millionenkubikmeter pro Monat angegeben ist, wäre dann der Wert <math>1,944*10^9 \frac{m^3}{Monat}</math>. Dieser Wasserstandswert wäre eine ziemlich grobe Abweichung vom Realwert. '''Aus diesem Grund handelt es sich bei der Funktion eher um eine Sinusähnliche Funktion''', als um eine, die gen Unendlich exponential ansteigt. Dies würde heißen, '''dass das zweite Austrocknen auf der t - Achse verschoben wird, wieder als t = 0 definiert werden würde, und die Funktion f<sub>a</sub> (t) wieder von vorne starten würde'''.
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| − | }}
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| − | ===Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion===
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| − | [[Bild:Raulprahovalabreaza.jpg|300px|right]]
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span>
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| − | :Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion. Dies lässt sich durch die Integralrechnung bestimmen. Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel.
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| − | :Hier kannst du ein
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| − | [[Bild:Integral.jpg]]
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| − | ::<span style="color: darkblue">Es wird die Funktion gesucht, deren Ableitung die Funktion f<sub>a</sub> (t) ist. Gebe diese Funktion an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | <math>\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c</math> | + | |
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| − | Die obere Grenze ist: 6 <small> ''Nach den ersten sechs Monaten''</smalL>
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| − | Die untere Grenze ist: 0
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| − | <math>\int_{0}^{6} f (t)\,dt = </math> <math>\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27</math>
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| − | <u>Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10<sup>9</sup> Liter Wasser durch den Fluss.</u> (<small> 27*10<sup>6</sup> m<sup>3</sup> = 27*10<sup>9</sup> Liter</small>)
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| − | ===Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen===
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| − | '''''<span style="color: darkorange">Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen f<sub>a1</sub> und f<sub>a2</sub>. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.'''''</span>
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| − | <span style="color: darkblue">Dazu werden zwei Integralfunktionen F<sub>a1</sub> und F<sub>a2</sub> gleichgesetzt und so weit wie möglich nach t aufgelöst.</span>
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| − | ::{{Lösung versteckt|1=
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| − | ::Im Weiteren wird eine Funktion mit Parameter a, die andere mit Parameter b bezeichnet. Wobei gilt:
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| − | ::<math>a \neq b</math>
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| − | ::F<sub>a</sub> (t) = F<sub>b</sub> (t)
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| − | ::<math>\frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} = \frac{1}{16}t^4 - \frac{b*t^3}{3} + \frac{b^2*t^2}{2}</math>
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| − | ::<math>\frac{t^3}{3} \left( b - a \right) + \frac{t^2}{2} \left( a + b\right) \left( a - b \right) = 0</math>
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| − | ::<math>\left( b - a \right) * \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) \right) = 0</math> | + | ::Die obere Grenze ist: 6 <small> ''Nach den ersten sechs Monaten''</smalL> |
| | | | |
| − | ::<math>\left( b - a \right) \neq 0 \Rightarrow \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) = 0</math> | + | ::Die untere Grenze ist: 0 |
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| − | ::<math>2 t^3 = 3 t^2 \left( a + b \right) // * \frac{1}{t^2}</math> | + | ::<math>\int_{0}^{6} f (t)\,dt = </math> <math>\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27</math> |
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| − | ::<math>\Rightarrow t = \frac{3a+3b}{2} </math> | + | ::<u>Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10<sup>9</sup> Liter Wasser durch den Fluss.</u> (<small> 27*10<sup>6</sup> m<sup>3</sup> = 27*10<sup>9</sup> Liter</small>) |
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| − | <popup name="Applet zur Fläche"> | + | ::<u><span style="color: red">Merke:</span></u> Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich. |
| − | <ggb_applet width="620" height="600" filename="Flächengleichheit.ggb" showResetIcon="true" /> | + | |
| − | </popup> | + | |
| | }} | | }} |
![\int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^(n+1)}{n+1} \right]_{a}^{b}](/images/math/c/3/7/c37bf69a7f5a9530a9c52bbc6a440f2e.png)
![\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27](/images/math/4/9/a/49a1f445fbc0fa11cad513f8131a8bd7.png)
