2009 VI
VI.
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R3 die Ebene F, die parallel zur x3-Achse ist und die Punkte A(-2/1,5/6) und B(0/3/0) enthält, sowie die Ebenenschar Ea: 2x1+2x2+x3-a=0 mit a Element R .
a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. [Zur Kontrolle: F: 3x1-4x2+12=0 ]
b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3/-1/0) berührt die Ebene F. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel. [Teilergebnis: r=5 ]
c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und geben Sie deren Radius r´ an. [Teilergebnis: M´(-7/4/12)]
d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E13 und E-3 symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.
e) Die Ebene E13 schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von E-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p? [Teilergebnis: N(5/1/1) ]
f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel 
, um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche ge-neigt ist.
g) In welcher Ebene der Schar Ea liegt der Punkt M´? Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´ und die Ebene Ea in einem Kreis?
