2009 VI
VI.
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R3 die Ebene F, die parallel zur x3-Achse ist und die Punkte A(-2/1,5/6) und B(0/3/0) enthält, sowie die Ebenenschar Ea:2x1+2x2+x3-a=0 mit a \in R .
a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. [Zur Kontrolle: ]
b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt berührt die Ebene F. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel. [Teilergebnis: ]
c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel . Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Kugel und geben Sie deren Radius an. [Teilergebnis: ]
d) Zeigen Sie, dass die Ebenen und symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.
e) Die Ebene schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius r dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von mit der Kugel ebenfalls den Radius ? [Teilergebnis: ]
f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel , um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche ge-neigt ist.
g) In welcher Ebene der Schar liegt der Punkt ? Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel und die Ebene in einem Kreis?
