2009 V: Unterschied zwischen den Versionen

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ die Punkte A(5|1|0) und B(1|5|2), die Gerade g : , λ ∈ IR sowie die Ebenenschar E_k : kx₁ + x₂ + kx₃ −11 = 0 , k ∈ IR.

Aufgabe 1

a) Es gibt eine Gerade h, die in allen Ebenen der Schar E_k enthalten ist. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h in Parameterform.

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b) Weisen Sie nach, dass genau eine Ebene der Schar echt parallel zur Geraden g ist. In welcher Lagebeziehung stehen folglich g und h? Begründen Sie Ihre Antwort.

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Aufgabe 2

a) Zeigen Sie, dass die Punkte A und B in der Ebene E₂ liegen, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts C von E₂ mit der Geraden g. [Zur Kontrolle: C(−1|1| 6)]

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b) Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig-rechtwinklig ist, und ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.

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Das Quadrat ABCD als Grundfläche bildet zusammen mit einem Punkt S als Spitze eine vierseitige Pyramide ABCDS. Der Punkt S liegt dabei auf der Geraden g und ist so gewählt, dass die Pyramide gerade ist, das heißt, der Fußpunkt F der Pyramidenhöhe ist gleichzeitig der Diagonalenschnittpunkt des Quadrats.

c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte F und S. [Zur Kontrolle: S(6|3|7)]

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d) Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide sowie den Inhalt ihrer Oberfläche.

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e) K sei die Kugel, auf der alle Ecken der Pyramide ABCDS liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M und den Radius r der Kugel K und zeigen Sie, dass M im Inneren der Pyramide liegt.

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Alternativer Lösungsweg:

f) Betrachtet werden nun eine gerade Pyramide mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche und der Höhe h' > 0 sowie die Kugel durch die Ecken dieser Pyramide. Für welche Werte von h' liegt der Mittelpunkt dieser Kugel außerhalb der Pyramide?

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