2009 V: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> die Punkte A(5|1|0) und B(1|5|2), die Gerade g : <math>\vec x = \begin{pmatrix} -8 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>, λ∈ IR sowie die Ebenenschar Ek : kx<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> + kx<sub>3</sub> −11 = 0 , k ∈ IR.
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Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> die Punkte A(5|1|0) und B(1|5|2), die Gerade g : <math>\vec x = \begin{pmatrix} -8 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>, λ ∈ IR sowie die Ebenenschar E<sub>k</sub> : kx<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> + kx<sub>3</sub> −11 = 0 , k ∈ IR.
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a) Es gibt eine Gerade h, die in allen Ebenen der Schar E<sub>k</sub> enthalten ist. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h in Parameterform.  
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a) Zeigen Sie, dass die Punkte A und B in der Ebene E<sub>2</sub> liegen, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts C von E<sub>2</sub> mit der Geraden g. [Zur Kontrolle: C(−1|1| 6)]
 
a) Zeigen Sie, dass die Punkte A und B in der Ebene E<sub>2</sub> liegen, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts C von E<sub>2</sub> mit der Geraden g. [Zur Kontrolle: C(−1|1| 6)]
  
 
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Aktuelle Version vom 4. Februar 2010, 21:20 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009
Analytische Geometrie V


Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Lösungen von Christoph Wacker, Lea Mainberger und Irina Jerschow


Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Punkte A(5|1|0) und B(1|5|2), die Gerade g : \vec x = \begin{pmatrix} -8 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, λ ∈ IR sowie die Ebenenschar Ek : kx1 + x2 + kx3 −11 = 0 , k ∈ IR.


Aufgabe 1

a) Es gibt eine Gerade h, die in allen Ebenen der Schar Ek enthalten ist. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h in Parameterform.

ABI 2009 V A1a Lös.jpg


b) Weisen Sie nach, dass genau eine Ebene der Schar echt parallel zur Geraden g ist. In welcher Lagebeziehung stehen folglich g und h? Begründen Sie Ihre Antwort.

ABI 2009 V A1b Lös.jpg


Aufgabe 2

a) Zeigen Sie, dass die Punkte A und B in der Ebene E2 liegen, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts C von E2 mit der Geraden g. [Zur Kontrolle: C(−1|1| 6)]

ABI 2009 V A2a Lös.jpg


b) Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig-rechtwinklig ist, und ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.

ABI 2009 V A2b Lös.jpg


Das Quadrat ABCD als Grundfläche bildet zusammen mit einem Punkt S als Spitze eine vierseitige Pyramide ABCDS. Der Punkt S liegt dabei auf der Geraden g und ist so gewählt, dass die Pyramide gerade ist, das heißt, der Fußpunkt F der Pyramidenhöhe ist gleichzeitig der Diagonalenschnittpunkt des Quadrats.


c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte F und S. [Zur Kontrolle: S(6|3|7)]

ABI 2009 V A2c Lös.jpg


d) Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide sowie den Inhalt ihrer Oberfläche.

ABI 2009 V A2d Lös.jpg


e) K sei die Kugel, auf der alle Ecken der Pyramide ABCDS liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M und den Radius r der Kugel K und zeigen Sie, dass M im Inneren der Pyramide liegt.

ABI 2009 V A2e Lös.jpg

Alternativer Lösungsweg:

ABI 2009 V A2e Alt1 Lös.jpg



f) Betrachtet werden nun eine gerade Pyramide mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche und der Höhe h' > 0 sowie die Kugel durch die Ecken dieser Pyramide. Für welche Werte von h' liegt der Mittelpunkt dieser Kugel außerhalb der Pyramide?

ABI 2009 V A2f Lös.jpg


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