2009 II

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009 Infinitesimalrechnung II Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_a : x \mapsto a^3 x^2 e^{-ax}$ mit a ∈ IR+ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von fa wird mit Ga bezeichnet. Die Abbildung zeigt Ga für a = 0,04. a) Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von fa für x → −∞ und x → +∞. Begründen Sie, dass Ga nie unterhalb der x-Achse verläuft. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 800px b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Ga. [Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei x = $\textstyle \frac{2}{a}$] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 800px

Aufgabe 2 Nun werden die in R I definierten Integralfunktionen betrachtet. a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von Fa für alle a ∈ IR+ durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt. b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für Fa . Geben Sie den Grenzwert von Fa für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen Ga. [Teilergebnis: ] c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F0,04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F0,04 im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem (x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F0,04 (−30) ≈ −1,45 und F0,04 (200) ≈1,97 . (FortsetzungNun wird die Schar der Funktionen $f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}$ mit k ∈ IR-0 betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge Dk von fk in Abhängigkeit von k an. Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat fk an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 800px

Aufgabe 3 Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k ⋅ fa (x) mit geeignetem a und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an. 5 a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt. 5 b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k =1200 unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms Fa (x) das Integral ∫ 120 0 g(x)dx und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang. a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion $f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}$ mit − r ≤ x ≤ r ist. Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f2 und f3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f2 und f3 an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt: $V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]