2009 I: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | <div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;"> | ||
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| − | + | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | |
| − | + | <tr><td width="800px" valign="top"> | |
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| − | + | <center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009'''</big></center> | |
| − | + | <center><big>'''Infinitesimalrechnung I'''</big></center> | |
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| − | e) Für jedes k begrenzt | + | <center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=79e69371e73c4c671417483e9427e728 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern'''] - [[Media:LKM Abi 2009 I lös.doc|Lösungen zum Ausdrucken]] </center> |
| − | Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass | + | |
| − | dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. | + | </td></tr></table></center> |
| − | Für beliebige positive | + | </div> |
| − | I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche | + | |
| − | erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt | + | <div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;"> |
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| + | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
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| + | ;Aufgabe 1 | ||
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| + | Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math> mit k ∈ IR<sup>+</sup> und | ||
| + | der Definitionsmenge IR . Der Graph von f<sub>k</sub> wird mit G<sub>k</sub> bezeichnet. | ||
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| + | a) Untersuchen Sie G<sub>k</sub> auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für x → −∞ und x → +∞ an. | ||
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| + | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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| + | [[Bild:ABI_2009_I_A1a_Lös.jpg|700px]] | ||
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| + | b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G<sub>k</sub> . Die Hochpunkte von G<sub>k</sub> bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ] | ||
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| + | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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| + | [[Bild:ABI_2009_I_A1b_Lös.jpg|700px]] | ||
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| + | c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben. | ||
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| + | [[Bild:ABI_2009_I_A1c_Lös.jpg|700px]] | ||
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| + | }} | ||
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| + | d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen G<sub>k</sub> für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein. | ||
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| + | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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| + | [[Bild:ABI_2009_I_A1d_Lös.jpg|700px]] | ||
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| + | e) Für jedes k begrenzt G<sub>k</sub> mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k<sub>1</sub>, k<sub>2</sub> (k<sub>1</sub> ≠ k<sub>2</sub>) begrenzen G<sub>k<sub>1</sub></sub> und G<sub>k<sub>2</sub></sub> im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt | ||
hat, und geben Sie diesen an. | hat, und geben Sie diesen an. | ||
| + | :{{Lösung versteckt|1= | ||
| − | + | [[Bild:ABI_2009_I_A1e_Lös.jpg|700px]] | |
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| − | betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge | + | |
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| + | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | ||
| + | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
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| + | ;Aufgabe 2 | ||
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| + | Nun wird die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math> mit k ∈ IR<sup>-</sup><sub>0</sub> betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D<sub>k</sub> von f<sub>k</sub> in | ||
Abhängigkeit von k an. | Abhängigkeit von k an. | ||
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| − | == | + | Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f<sub>k</sub> an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort. |
| − | a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und | + | |
| − | Mittelpunkten (0 | 0), (0 | r) und (r | 0) . Begründen Sie, dass der | + | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion | + | |
| − | + | [[Bild:ABI_2009_I_A2Lös.jpg|700px]] | |
| − | − r ≤ x ≤ r ist. | + | |
| + | }} | ||
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| + | </td></tr></table></center> | ||
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| + | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | ||
| + | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
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| + | ;Aufgabe 3 | ||
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| + | a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion <math>f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}</math> mit − r ≤ x ≤ r ist. | ||
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| + | Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> an. | ||
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| + | b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der | ||
| + | eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der | ||
| + | eingefüllten Flüssigkeit gilt: <math>V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)</math> | ||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
| − | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_I_A3_Lös.jpg|700px]] |
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Aktuelle Version vom 4. Februar 2010, 20:54 Uhr
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Gegeben ist die Schar der Funktionen
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mit k ∈ IR+ und
der Definitionsmenge IR . Der Graph von fk wird mit Gk bezeichnet.
Nun wird die Schar der Funktionen Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat fk an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.  |
a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f2 und f3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f2 und f3 an.
b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der
eingefüllten Flüssigkeit gilt:  |
mit − r ≤ x ≤ r ist.
