2009 I: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 3. Februar 2010, 19:48 Uhr

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Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}$ mit k ∈ IR⁺ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von f_k wird mit G_k bezeichnet.

a) Untersuchen Sie G_k auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f_k für x → −∞ und x → +∞ an.

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b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G_k . Die Hochpunkte von G_k bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]

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c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben.

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d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen G_k für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein.

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e) Für jedes k begrenzt G_k mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k₁, k₂ (k₁ ≠ k₂) begrenzen G_k₁ und G_k₂ im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen an.

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Aufgabe 2

Nun wird die Schar der Funktionen $f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}$ mit k ∈ IR^-₀ betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D_k von fk in Abhängigkeit von k an.

Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f_k an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.

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Aufgabe 3

a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion $f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}$ mit − r ≤ x ≤ r ist.

Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f₂ und f₃ . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f₂ und f₃ an.

b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt: $V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)$

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+[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=79e69371e73c4c671417483e9427e728 ''download'' '''Abitur 2009 LK Mathematik Bayern''']  -  [[Media:LKM Abi 2009 I lös.doc|Lösung gesamt]]
 == Aufgabe 1 ==
-Gegeben ist die Schar der Funktionen
+Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math>  mit k ∈ IR<sup>+</sup> und
+der Definitionsmenge IR . Der Graph von f<sub>k</sub> wird mit G<sub>k</sub> bezeichnet.
-a mit k ∈ IR+ und
-der Definitionsmenge IR . Der Graph von fk wird mit Gk bezeichnet.
-a) Untersuchen Sie Gk auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für x → −∞ und x → +∞ an.
-b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Gk . Die Hochpunkte
+a) Untersuchen Sie G<sub>k</sub> auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für x → −∞ und x → +∞ an.
-von Gk bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie
-Funktionsterm und Definitionsmenge von h.
+:{{Lösung versteckt|1=
-[Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]
-c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den
+[[Bild:ABI_2008_I_A1a_Lös.jpg|800px]]
-Koordinatenursprung gemeinsam haben.
+}}
+b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G<sub>k</sub> . Die Hochpunkte von G<sub>k</sub> bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]
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+c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben.
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+}}
+d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen G<sub>k</sub> für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein.
+:{{Lösung versteckt|1=
+[[Bild:ABI_2008_I_A1d_Lös.jpg|800px]]
+}}
-d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die
-Graphen Gk für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem
-(Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h
-ein.
-e) Für jedes k begrenzt Gk mit der x-Achse im I. Quadranten ein
+e) Für jedes k begrenzt G<sub>k</sub> mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k<sub>1</sub>, k<sub>2</sub> (k<sub>1</sub> ≠ k<sub>2</sub>) begrenzen G<sub>k<sub>1</sub></sub> und G<sub>k<sub>2</sub></sub> im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt
-Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass
-dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt.
-Für beliebige positive k1, k2 (k1 ≠ k2 ) begrenzen Gk1 und Gk 2im
-I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche
-erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt
 hat, und geben Sie diesen an.
+:{{Lösung versteckt|1=
-== Aufgabe 2 ==
+[[Bild:ABI_2008_I_A1e_Lös.jpg|800px]]
-Nun wird die Schar der Funktionen k 2 k x
-a für k∈ IR0−
+}}
-betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge Dk von fk in
+== Aufgabe 2 ==
+Nun wird die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math>  mit k ∈ IR<sup>-</sup><sub>0</sub> betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D<sub>k</sub> von fk in
 Abhängigkeit von k an.
-Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat fk an
-den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.
+Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f<sub>k</sub> an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.
+:{{Lösung versteckt|1=
+[[Bild:ABI_2008_I_A2_Lös.jpg|800px]]
+}}
 ==Aufgabe 3==
-a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und
+a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion <math>f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}</math>  mit − r ≤ x ≤ r ist.
-Mittelpunkten (0 | 0), (0 | r) und (r | 0) . Begründen Sie, dass der
-Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion 2 2
-f1(x)= <math>\sqrt{x^2-r^2}</math>   mit
-− r ≤ x ≤ r ist.
 :{{Lösung versteckt|1=
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 }}
-Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der
+Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> an.
-Funktionen f2 und f3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge
-für f2 und f3 an.
 :{{Lösung versteckt|1=
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-b) Ein kugelförmiger Tank hat den
-Innenradius r und ist mit einer
+b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
-Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
+eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der
-eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen
+eingefüllten Flüssigkeit gilt: <math>V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)</math>
-Sie mit Hilfe der Integralrechnung,
-dass für das Volumen V der
-eingefüllten Flüssigkeit gilt:
-V (rh h3)
-= π 2 − 1 .
 :{{Lösung versteckt|1=

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