2008 V

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Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008
Analytische Geometrie/V


Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken



Aufgabe 1

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des \mathbb{R} 3 die Punkte A(1|2|3), B(5|0|-1) und D(-1|6|-1) sowie St (1-t|8|t) mit t  \in {9} als Parameter.

a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und D eine Ebene E bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. (5 BE)

Zur Kontrolle: E: 2x1+2x2+x3-9=0

b) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A, B und D durch einen vierten Punkt C zu einem Quadrat ABCD ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnittpunkt M dieses Quadrats. (4 BE)

Teilergebnis: M(2|3|-1)

<popop name="Lösung"> Datei:2008/V/1b.jpg </popup>

c) Für welchen Wert von t ist die Entfernung von St zu M minimal? (5 BE)

Aufgabe 2

2) Das Quadrat ABCD als Begrenzungsfläche und die Strecke [DSt] als Seitenkante bestimmen ein Parallelflach.

a) Berechnen Sie alle Werte von t, für die das Parallelflach den Rauminhalt V=144 hat. (6 BE)

b) Bestimmen Sie t so, dass das Parallelflach ein Quader ist. (3 BE)

Nun sei t=1. Die durch die Punkte A, D und S1 festgelegte Seitenfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene F:2x1-x3+1=0.

c) Im Punkt T(1|5|3) dieser Seitenfläche wird ein Lot errichtet. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes U, in dem das Lot die Ebene E schneidet, und zeigen Sie, dass U nicht im Innern des Quadrats ABCD liegt.(7 BE)

d) Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und F. (3 BE)


Aufgabe 3

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radio r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem mStreckungsfaktor -2 auf die Kugel K' abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M' und K' sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P' haben können, wenn P und K und P' auf K' liegt. (7 BE)