2008 II: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| − | + | *[http://www.onlinemathe.de/al_upload/pdf/08_lk_inf_a2.pdf download '''Abitur 2008 LK Mathematik Bayern'''] | |
| − | *[http://www. | + | |
*[[Media:ABI 2008 II.doc|download Musterlösung gesamt]] | *[[Media:ABI 2008 II.doc|download Musterlösung gesamt]] | ||
| + | |||
| + | '''Erstellt von Alistair Mainka und Benjamin Schleicher.''' | ||
| + | |||
== Aufgabe 1 == | == Aufgabe 1 == | ||
| − | Gegeben ist die Funktion | + | Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=e^{1-0,5x^2}</math> mit Definitionsbereich D<sub>f</sub> = IR . |
| − | <math>f(x)=e^1-0, | + | |
Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt den Graphen G<sub>f</sub> von f. | Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt den Graphen G<sub>f</sub> von f. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | b)Zeigen Sie, dass gilt: | + | a) Untersuchen Sie G<sub>f</sub> rechnerisch auf Symmetrie und Schnittpunkte mit |
| − | f ''(x) = ( | + | den Achsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x → + ∞ und x → − ∞. (4BE) |
| + | |||
| + | {{Lösung versteckt|[[Bild:ABI_2008_II_A1a_Lös1.jpg|800px]]}} | ||
| + | |||
| + | b) Zeigen Sie, dass gilt: | ||
| + | <math>f''(x)=(x^2-1)e^{1-0,5x^2}</math>. | ||
Bestimmen Sie durch Rechnung das Monotonieverhalten von f und die | Bestimmen Sie durch Rechnung das Monotonieverhalten von f und die | ||
| − | Koordinaten der Wendepunkte. | + | Koordinaten der Wendepunkte. (6BE) |
| − | :{{Lösung versteckt|1= | + | |
| + | {{Lösung versteckt|[[Bild:ABI_2008_II_A1b_Lös1.jpg|800px]]}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Aufgabe 2 == | ||
| + | |||
| + | Die Integralfunktion F ist definiert durch <math>F(x)=\int_{0}^{x} f (t)\,dt</math>, x ∈ IR. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | a) Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten | ||
| + | des Graphen von F. Bestimmen Sie aus der Abbildung mit Hilfe des | ||
| + | Gitternetzes Näherungswerte für F(0,5), F(1), F(2) und F(4). Tragen Sie | ||
| + | den Graphen von F im Bereich x ∈[−4;4] in die gegebene Abbildung | ||
| + | ein. (8BE) | ||
| + | |||
| + | {{Lösung versteckt|[[Bild:ABI_2008_II_A2a_Lös1.jpg|800px]]}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | b) Für x > 1 gilt offensichtlich | ||
| + | <math>xe^{1-0,5x^2} > e^{1-0,5x^2}</math>. Zeigen Sie damit, | ||
| + | dass <math>\int_{4}^{\infty } f (x)\,dx < 10^{-3}</math> ist. | ||
| + | Was folgt für die Funktionswerte von F für x ≥ 4? (5BE) | ||
| + | |||
| + | {{Lösung versteckt|[[Bild:ABI_2008_II_A2b_Lös1.jpg|800px]]}} | ||
| + | |||
| + | 3. Die Funktion f soll im Folgenden in einer Umgebung von x = 0 durch eine | ||
| + | Polynomfunktion p mit dem Term <math>p(x) = ax4 + bx2 + c</math> , a, b, c ∈ IR , | ||
| + | angenähert werden. | ||
| + | |||
| + | a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass f und p an der | ||
| + | Stelle x = 0 im Funktionswert und in den Werten der 1. bis einschließlich | ||
| + | 4. Ableitung übereinstimmen. | ||
| + | Ohne Nachweis darf verwendet werden: <math>f '''(0) = 0, f ''''(0) = 3e</math> (6BE) | ||
| + | |||
| + | [Zur Kontrolle: <math>p(x) = e(\frac{1}{8}x - \frac{1}{2} x2 + 1)</math>] | ||
| + | |||
| + | {{Lösung versteckt|[[Bild:ABI_2008_II_A3a_Lös1.jpg|800px]]}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | b) Zeigen Sie, dass p keine Nullstelle besitzt. Berechnen Sie den Inhalt A | ||
| + | der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Graphen von p und der | ||
| + | Geraden x = 1 eingeschlossen wird, auf 4 Dezimalen gerundet. (5BE) | ||
| − | [ | + | [Zur Kontrolle: A ≈ 2,3332] |
| − | }} | + | {{Lösung versteckt|[[Bild:ABI_2008_II_A3b_Lös1.jpg|800px]]}} |
| − | + | c) Bestimmen Sie nun den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{1} f (x)\,dx</math> mit Hilfe der | |
| + | Gauß’schen ϕ-Funktion (<math>\varphi(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi } } e<^{-0,5x^2}</math>) und dem stochastischen | ||
| + | Tafelwerk. Um wie viel Prozent weicht der Näherungswert aus | ||
| + | Teilaufgabe 3b von diesem Ergebnis ab? (6BE) | ||
| − | }} | + | {{Lösung versteckt|[[Bild:ABI_2008_II_A3c_Lös1.jpg|800px]]}} |
Version vom 7. Februar 2010, 16:52 Uhr
Erstellt von Alistair Mainka und Benjamin Schleicher.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion 
mit Definitionsbereich Df = IR .
Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt den Graphen Gf von f.
a) Untersuchen Sie Gf rechnerisch auf Symmetrie und Schnittpunkte mit
den Achsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x → + ∞ und x → − ∞. (4BE)
b) Zeigen Sie, dass gilt:
.
Bestimmen Sie durch Rechnung das Monotonieverhalten von f und die
Koordinaten der Wendepunkte. (6BE)
Aufgabe 2
Die Integralfunktion F ist definiert durch 
, x ∈ IR.
a) Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten
des Graphen von F. Bestimmen Sie aus der Abbildung mit Hilfe des
Gitternetzes Näherungswerte für F(0,5), F(1), F(2) und F(4). Tragen Sie
den Graphen von F im Bereich x ∈[−4;4] in die gegebene Abbildung
ein. (8BE)
b) Für x > 1 gilt offensichtlich
. Zeigen Sie damit,
dass 
ist.
Was folgt für die Funktionswerte von F für x ≥ 4? (5BE)
3. Die Funktion f soll im Folgenden in einer Umgebung von x = 0 durch eine
Polynomfunktion p mit dem Term 
, a, b, c ∈ IR ,
angenähert werden.
a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass f und p an der
Stelle x = 0 im Funktionswert und in den Werten der 1. bis einschließlich
4. Ableitung übereinstimmen.
Ohne Nachweis darf verwendet werden: 
(6BE)
[Zur Kontrolle: 
]
b) Zeigen Sie, dass p keine Nullstelle besitzt. Berechnen Sie den Inhalt A
der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Graphen von p und der
Geraden x = 1 eingeschlossen wird, auf 4 Dezimalen gerundet. (5BE)
[Zur Kontrolle: A ≈ 2,3332]
c) Bestimmen Sie nun den Wert des Integrals 
mit Hilfe der
Gauß’schen ϕ-Funktion (
) und dem stochastischen
Tafelwerk. Um wie viel Prozent weicht der Näherungswert aus
Teilaufgabe 3b von diesem Ergebnis ab? (6BE)
