2007 VI

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007 Analytische Geometrie VI Lösungen erstellt von: Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner

In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 ist die Ebenenschar Et : $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit λ, τ є IR und t є IR gegeben.

Aufgabe 1 a) Bestimmen Sie eine Gleichung von Et in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind. [mögliches Teilergebnis: Et : 2x1 + x2 - 2x3 - t = 0] b) Berechnen Sie den Winkel φ, unter dem jede Ebene der Schar Et die x1x2-Ebene schneidet, auf eine Dezimale gerundet. c) Die Ebene L enthält die x2-Achse und ist Lotebene zur Ebene Et. Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden st von L und Et in Parameterform an. [mögliches Teilergebnis: L: x1 + x3 = 0]

Aufgabe 2 Die Ebene Et schneidet die x1-Achse im Punkt At, die x2-Achse im Punkt Bt und die x3-Achse im Punkt Ct. Diese Punkte und der Ursprung O sind für t ≠ 0 die Ecken einer Pyramide IIt. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte At, Bt und Ct und zeichnen Sie in einem Koordinatensystem für t = -8 die Pyramide II-8 ein. [Teilergebnis: At (0,5t|0|0); Bt (0|t|0); Ct (0|0|-0,5t)] b) Zeigen Sie, dass die Pyramide IIt den Oberflächeninhalt t2 besitzt, und ermitteln Sie das Volumen Vt von IIt in Abhängigkeit von t. c) Die Ebene F : 2x2 = t liegt parallel zu einer Seitenfläche und zerlegt IIt in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina. d) Zeigen Sie, dass die Kugel K mit dem Mittelpunkt Nt ($\frac{t}{8}$ |$\frac{t}{8}$ |$\frac{-t}{8}$ ) und dem Radius ρt = $\frac{|t|}{8}$ die Inkugel der Pyramide IIt ist, also alle Begrenzungsflächen von IIt von innen berührt. e) Die Ecken der Pyramide IIt liegen auf einer Kugel (Umkugel) mit dem Mittelpunkt M (m1|m2|m3) und dem Radius r. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: m2 = $\frac{t}{2}$. Geben Sie m1 sowie m3 an und berechnen Sie r.