2007 V

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Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007
Analytische Geometrie V


Lösung von Ruth Burkard, Julian Weinbeer und Veronika Weinbeer




Aufgabe 1

Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Ebenenschar Ek : k2x1 + k 2x2 - k2 = 0 , mit k ∈ IR als Scharparameter.

a) Ermitteln Sie, für welche Werte von k die Ebene Ek den Punkt P(1|2|-3)und zugleich den Punkt Q(0|1|0) enthält.

Aufgabe 1 a.jpg


b) Die beiden Ebenen E2 und E-3 schneiden sich in einer Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und den    Schnittwinkel der beiden Ebenen auf eine Dezimale gerundet.

    [mögliches Teilergebnis: g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}, λ ∈ IR ]


Bestimmung der Gleichung in Parameterform
1. Lösungsweg:
Aufgabe 1 b Loesung I.jpg
2. Lösungsweg:
Aufgabe 1 b Loesung II.jpg


Berechnung des Schnittwinkels
Aufgabe 1 b Loesung Winkel.jpg



c) Mit e(k) werde der Betrag des Abstands der Ebene Ek vom Koordinatenursprung bezeichnet. Zeigen Sie, dass                                 e(k)=\frac{k^2}{\sqrt{k^2+k^4+2}}  und dass e(k)<1 ist.

Aufgabe 1 c.jpg


d) Es gibt zwei Scharebenen, deren Schnittwinkel mit der x3-Achse 30° besteht. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von k.

Aufgabe 1 d.jpg


e) Untersuchen Sie, ob die Gerade g aus Teilaufgabe 1b senkrecht auf einer Ebene der Schar Ek steht.

Aufgabe 1 e.jpg