2006 VI: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 33: | Zeile 33: | ||
<br /> | <br /> | ||
a) Wie viel Prozent des Schachtelvolumens füllt die Kugel aus? (2 BE)<br /><br /> | a) Wie viel Prozent des Schachtelvolumens füllt die Kugel aus? (2 BE)<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :{{Lösung versteckt| | ||
| + | [[Bild:Abi2006,1a.png|600px]] | ||
| + | }}<br /> | ||
b) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte Z1 und Z2 , in denen die Gerade DF die Kugel schneidet. (5 BE)<br /> | b) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte Z1 und Z2 , in denen die Gerade DF die Kugel schneidet. (5 BE)<br /> | ||
[Zur Kontrolle: Z1(5+<math>\textstyle\frac{5}{3} </math><math>\sqrt{3}</math> |5-<math>\textstyle\frac{5}{3} </math><math>\sqrt{3}</math>|5+<math>\textstyle\frac{5}{3} </math><math>\sqrt{3}</math>)]<br /><br /> | [Zur Kontrolle: Z1(5+<math>\textstyle\frac{5}{3} </math><math>\sqrt{3}</math> |5-<math>\textstyle\frac{5}{3} </math><math>\sqrt{3}</math>|5+<math>\textstyle\frac{5}{3} </math><math>\sqrt{3}</math>)]<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :{{Lösung versteckt| | ||
| + | [[Bild:Abi2006,1b.png|600px]] | ||
| + | }}<br /> | ||
c) Geben Sie die kürzeste Strecke an, auf der sich der Punkt Pa bewegt, | c) Geben Sie die kürzeste Strecke an, auf der sich der Punkt Pa bewegt, | ||
wenn a das Intervall [0;∞[ durchläuft. Begründen Sie Ihre Antwort. (5 BE) | wenn a das Intervall [0;∞[ durchläuft. Begründen Sie Ihre Antwort. (5 BE) | ||
| − | |||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
| − | + | [[Bild:Abi2006,1c.png|600px]] | |
| − | [[Bild:Abi2006,1c. | + | |
}} | }} | ||
| Zeile 64: | Zeile 72: | ||
a) Um welche besonderen Dreiecke handelt es sich bei der Grundfläche (Schnittfläche) und den Seitenflächen der abgeschnittenen Pyramiden? (3 BE)<br /><br /> | a) Um welche besonderen Dreiecke handelt es sich bei der Grundfläche (Schnittfläche) und den Seitenflächen der abgeschnittenen Pyramiden? (3 BE)<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :{{Lösung versteckt| | ||
| + | [[Bild:Abi2006,2a.png|600px]] | ||
| + | }} | ||
| + | |||
b) Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Ebene Sa in Normalenform, die senkrecht zu DF liegt und den Punkt Pa enthält. (5 BE)<br /> | b) Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Ebene Sa in Normalenform, die senkrecht zu DF liegt und den Punkt Pa enthält. (5 BE)<br /> | ||
| Zeile 70: | Zeile 84: | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
| − | [[Bild:Abi2006, | + | [[Bild:Abi2006,2b.png|600px]] |
}} | }} | ||
| Zeile 89: | Zeile 103: | ||
a) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Ebene S4 die Kugel nicht | a) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Ebene S4 die Kugel nicht | ||
schneidet. (5 BE)<br /><br /> | schneidet. (5 BE)<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :{{Lösung versteckt| | ||
| + | [[Bild:Abi2006,3a.png|600px]] | ||
| + | }} | ||
| + | |||
b) Zeichnen Sie den Würfel, den Punkt P4 und die Schnittfläche der Ebene S4 mit dem Würfel in ein Koordinatensystem (Orientierung wie in obiger Abbildung) ein. (5 BE)<br /><br /> | b) Zeichnen Sie den Würfel, den Punkt P4 und die Schnittfläche der Ebene S4 mit dem Würfel in ein Koordinatensystem (Orientierung wie in obiger Abbildung) ein. (5 BE)<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :{{Lösung versteckt| | ||
| + | [[Bild:Abi2006,3b.png|600px]] | ||
| + | }} | ||
| + | |||
c) Berechnen Sie die Volumenverkleinerung der Schachtel und die Ober- flächenabnahme der Schachtel, wenn in gleicher Weise wie durch S4 | c) Berechnen Sie die Volumenverkleinerung der Schachtel und die Ober- flächenabnahme der Schachtel, wenn in gleicher Weise wie durch S4 | ||
an der Ecke F an allen Würfelecken Pyramiden abgeschnitten werden. (6 BE)<br /><br /> | an der Ecke F an allen Würfelecken Pyramiden abgeschnitten werden. (6 BE)<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :{{Lösung versteckt| | ||
| + | [[Bild:Abi2006,3c.png|600px]] | ||
| + | }} | ||
| + | |||
d) Die Ebene S4 und die drei entsprechenden Ebenen, die die oberen | d) Die Ebene S4 und die drei entsprechenden Ebenen, die die oberen | ||
| Zeile 100: | Zeile 132: | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
| − | [[Bild:Abi2006, | + | [[Bild:Abi2006,3d.png|600px]] |
| − | + | ||
}} | }} | ||
Version vom 15. März 2010, 15:13 Uhr
|
|
Gegeben ist eine Kugel K mit dem Radius 5, die in eine im Koordinatensystem stehende würfelförmige Schachtel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 10 (siehe Abbildung) verpackt ist, sowie die Punkteschar
Pa(10|0|
b) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte Z1 und Z2 , in denen die Gerade DF die Kugel schneidet. (5 BE)
c) Geben Sie die kürzeste Strecke an, auf der sich der Punkt Pa bewegt, wenn a das Intervall [0;∞[ durchläuft. Begründen Sie Ihre Antwort. (5 BE)
|
) mit dem Parameter a ∈ IR0+. 
|5-
Um diese Verpackung attraktiver zu gestalten, werden durch Ebenen, die senkrecht zu den Raumdiagonalen des Würfels verlaufen, an allen seinen Ecken kongruente dreiseitige Pyramiden abgeschnitten. a) Um welche besonderen Dreiecke handelt es sich bei der Grundfläche (Schnittfläche) und den Seitenflächen der abgeschnittenen Pyramiden? (3 BE)
|
= 0]
Im Folgenden sei a = 4. a) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Ebene S4 die Kugel nicht
schneidet. (5 BE)
|
