2003 V

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Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2003 Analytische Geometrie V Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Nellie Kirchner, Lea Mainberger, Maximilian Benkert

In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}$3 ist die Ebene H: x1 + x2 + x3 - 8 = 0 , sowie die Schar von Geraden ga : $\vec x = \begin{pmatrix} a^2 \\ 0 \\ -a^2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3a \\ -3a \\ 8 \end{pmatrix}$, $\lambda$ ∈ $\mathbb{R}$ , a ∈ $\mathbb{R}$ gegeben.

Aufgabe 1 a) Zeigen Sie, dass keine der Geraden ga parallel und keine senkrecht zur Ebene H verläuft. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Welche dieser Geraden schneidet H unter dem größten Winkel? Berechnen Sie diesen maximalen Winkel auf eine Dezimale genau. 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts Sa von ga mit H. [ Zur Kontrolle: Sa = (a2 + 3a / -3a / 8 - a2) ] 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Zeigen Sie, dass der Punkt S (-2 / 6 / 4) derjenige Punkt aus der Schar der Schnittpunkte Sa ist, der die geringste Entfernung vom Ursprung hat. Geben Sie diese Entfernung an. 9 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Die Punkte Sa bilden in H eine Kurve. Diese wird parallel zur x3-Achse in die x1x2-Ebene projiziert; die Projektion heißt P. Fertigen Sie eine Zeichnung von P in der x1x3-Ebene an. Um welchen Kurventyp handelt es sich bei P vermutlich? Überprüfen Sie Ihre Vermutung, indem Sie eine Koordinatengleichung von P aufstellen. 8 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln K1 und K2 mit dem Radius $5\sqrt{2}$, deren Mittelpunkte M1 und M2 auf der Gerade h liegen. a) Bestimmen Sie die Koordinaten von M1 und M2 . (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M1 bezeichnet.) [Teilergebnis: M1 = (2/5/-6)] 6 BE b) Die Kugelpunkte P $\in$ K1 und Q $\in$ K2 sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . der x2 -Wert von M2 ist falsch (-5/3) Der Vektor M1M2 wurde in der anderen aufgestellt in der er berechnet wurde. c) Spiegelt man die Ebene E am Punkt M1, so erhält man die Ebene E*. Geben Sie eine Gleichung von E* in Normalenform an. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . d) Zeigen Sie, dass die Punkte A (-1/0/-2) und C (-1/1/-1) auf der Kugel K1 um M1 liegen und bestimmen Sie die Koordinaten von B so, dass die Strecke [AB] ein Durchmesser von K1 ist. [Teilergebnis: B (5/10/-10)] 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . e) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D ebenfalls auf der Kugel K1 liegt. Alle Punkte D, für die die Pyramiden ABCD das Volumen 11 haben, bilden zwei Kreise auf der Kugelfläche (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie zuerst die Höhe h dieser Pyramiden und anschließend mit Hilfe einer geeigneten Skizze den Radius R der beiden oben definierten Kreise. [Zur Kontrolle: h = $\sqrt{11}$] 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] .