2003 II: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 9. April 2010, 14:10 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - [[Media:|Lösung gesamt]]


Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}} mit k \in \mathbb R . Der jeweilige Graph von f_k\, wird mit G_k\, bezeichnet.

a) Geben Sie f_k(0)\, sowie die Nullstelle von f_k\, an. Untersuchen Sie das Verhalten von f_k\, für x\rightarrow -\infty und für x\rightarrow +\infty


b) Zeigen Sie, dass f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x) gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen f^{''}_k\, und f^{'''}_k\, sowie einer Stammfunktion von f_k\, .


c) Zeigen Sie, dass G_k\, genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.



d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_4\, und G_6\, in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.



e) G_4\, schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat.



f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 \cdot f_6\, für die Funktion f_4\, hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von G_6\, aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die \int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0 ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.



Aufgabe 2

Das abgebildete Zelt - geometrisch betrachtet ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und b\, . Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und a\, sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a\,.

a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:

V=\frac{9}{4}a^{2}b

S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab.


b) Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 m^{3}\, ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m^{2}\, Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?




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