Lösung zur Teilaufgabe b): Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: === 1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> === 1.) Von <math>-\infty < x < a </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> unterhalb der x-Achs...) |
(→2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration) |
||
| Zeile 6: | Zeile 6: | ||
2.)Bei <math>x = a</math> ist der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> gleich Null ( G<sub>f<sub>a</sub></sub> = 0 )und das Steiguungsverhalten von G<sub>F<sub>a</sub></sub> ändertfür <math>x < a</math> und <math>x > a</math> das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen das der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> an der Stell <math>x = a</math> einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert. | 2.)Bei <math>x = a</math> ist der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> gleich Null ( G<sub>f<sub>a</sub></sub> = 0 )und das Steiguungsverhalten von G<sub>F<sub>a</sub></sub> ändertfür <math>x < a</math> und <math>x > a</math> das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen das der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> an der Stell <math>x = a</math> einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert. | ||
| − | === 2. Bestimmung | + | === 2. Bestimmung einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> durch partielle Integration === |
| + | |||
| + | [http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration Hilfe zur partiellen Integration] | ||
| + | |||
| + | <math> \int f (x)\,dx </math> = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> <br /> | ||
| + | |||
| + | Definiere: | ||
| + | |||
| + | u ( x ) = x - a<br /> | ||
| + | u <sup>'</sup> ( x ) = 1 | ||
| + | |||
| + | v ( x ) = e<sup>a + 2 - x</sup><br /> | ||
| + | v <sup>'</sup> ( x ) = -e<sup>a + 2 - x</sup> | ||
| + | |||
| + | <math> \int f (x)\,dx </math> = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> <br /> | ||
| + | = [( x - a ) -e<sup>a + 2 - x</sup> ]- <math>\int</math> 1 -e<sup>a + 2 - x</sup> dx | ||
| + | = ( x - a ) -e<sup>a + 2 - x</sup> - e<sup>a + 2 - x</sup> | ||
| + | = -e<sup>a + 2 - x</sup> ( x - a + 1 ) | ||
| + | = F<sub>a</sub> ( x ) = -e<sup>a + 2 - x</sup> ( x - a + 1 ) | ||
| + | |||
| + | für Interessierte: [[Der Holzweg]] | ||
Version vom 4. Januar 2010, 01:01 Uhr
1. Eigenschaften einer Stammfunktion von fa
1.) Von 
verläuft der Graph Gfa unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von 
verläuft der Graph Gfa oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, das der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton steigend ist.
2.)Bei 
ist der Graph Gfa gleich Null ( Gfa = 0 )und das Steiguungsverhalten von GFa ändertfür 
und 
das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen das der Graph GFa an der Stell einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.
2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration
Hilfe zur partiellen Integration
= ( x - a ) ea + 2 - x
Definiere:
u ( x ) = x - a
u ' ( x ) = 1
v ( x ) = ea + 2 - x
v ' ( x ) = -ea + 2 - x
= ( x - a ) ea + 2 - x
= [( x - a ) -ea + 2 - x ]-1 -ea + 2 - x dx = ( x - a ) -ea + 2 - x - ea + 2 - x = -ea + 2 - x ( x - a + 1 ) = Fa ( x ) = -ea + 2 - x ( x - a + 1 )
für Interessierte: Der Holzweg
