Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen
(→Spiegelung an der y-Achse) |
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| − | <br /> <br /> Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g | + | <br /> <br /> Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g. Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären. |
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''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br /> | ''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br /> | ||
| − | Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k<math>\ | + | Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k<math>\cdot</math>f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur dass der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. '''Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!''' |
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:<span style="color: green">k=3</span> <br /> | :<span style="color: green">k=3</span> <br /> | ||
:<span style="color: red">f(1)=-0,5</span> <br /> | :<span style="color: red">f(1)=-0,5</span> <br /> | ||
| − | ::g(x)=f(x)<math>\ | + | ::g(x)=f(x)<math>\cdot</math>k <br /> |
| − | ::g(1)=<span style="color: red">f(1)</span><span style="color: green"><math>\ | + | ::g(1)=<span style="color: red">f(1)</span><span style="color: green"><math>\cdot</math>3</span> <br /> |
| − | ::g(1)=-0,5<math>\ | + | ::g(1)=-0,5<math>\cdot</math>3 <br /> |
::g(1)=-1,5 </div> | ::g(1)=-1,5 </div> | ||
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''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br /> | ''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br /> | ||
Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt. <br /> | Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt. <br /> | ||
| − | Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder g(x)=f( | + | Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder <math>g(x)=f \left( \frac {1} {3}x \right)=cos \frac {1} {3}x</math> <br /> |
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:<span style="color: green">k=3</span> <br /> | :<span style="color: green">k=3</span> <br /> | ||
:f(<math>\Pi</math>)=-1 <br /> | :f(<math>\Pi</math>)=-1 <br /> | ||
| − | ::g(x)=f( | + | ::<math>g(x)=f\left( \frac {1} {k} \right)</math> <br /> |
| − | :: | + | ::<math>g(\Pi)=f \left( \frac {1} {3} \Pi \right)</math> <br /> |
::g(<math>\Pi</math>)=0,5 | ::g(<math>\Pi</math>)=0,5 | ||
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> <span style="color: red">'''Merke:''' </span> | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> <span style="color: red">'''Merke:''' </span> | ||
| − | Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k<math>\ | + | Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k<math>\cdot</math>f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt. |
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor <math>{1 \over k}</math> in x-Richtung gestreckt.</div> | Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor <math>{1 \over k}</math> in x-Richtung gestreckt.</div> | ||
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Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten <br /> | Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten <br /> | ||
Formeln ergeben sich nun die Fälle | Formeln ergeben sich nun die Fälle | ||
| − | g(x)= -1k<math>\ | + | g(x)= -1k<math>\cdot</math>f(x) und g(x)=f(-1kx), <br /> |
also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x). <br /> | also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x). <br /> | ||
Zunächst betrachten wir den Fall <span style="color: blue">g(x)= -f(x)</span> . <br /> | Zunächst betrachten wir den Fall <span style="color: blue">g(x)= -f(x)</span> . <br /> | ||
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== <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> == | == <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> == | ||
| − | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> |
| − | Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x). <br /> <br /> | + | Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x) (handschriftlich). <br /> <br /> |
<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
[[Bild:Lösung Strekungsaufgabe 2.1.png|600px]] | [[Bild:Lösung Strekungsaufgabe 2.1.png|600px]] | ||
| − | </popup> <br /> | + | </popup> </div> <br /> |
| − | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> |
Gegeben ist die Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.<br /> | Gegeben ist die Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.<br /> | ||
:a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung <br /> | :a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung <br /> | ||
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<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1 <br /> <br /> | f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1 <br /> <br /> | ||
| − | a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung <br /> | + | a) Streckung um den Faktor <span style="color: red">3 in y-Richtung</span> <br /> |
| − | ::g(x)=k<math>\ | + | ::g(x)=<span style="color: red">k</span><math>\cdot</math>f(x) mit <span style="color: red">k=3</span> <br /> |
| − | ::g(x)=3<math>\ | + | ::g(x)=<span style="color: red">3</span><math>\cdot</math>(2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1) <br /> |
::g(x)=6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3 <br /> <br /> | ::g(x)=6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3 <br /> <br /> | ||
| − | b) Spiegelung an der x-Achse <br /> | + | b) <span style="color: red">Spiegelung an der x-Achse</span> <br /> |
| − | ::h(x)=-g(x) <br /> | + | ::<span style="color: red">h(x)=-g(x)</span> <br /> |
::h(x)=-(6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3) <br /> | ::h(x)=-(6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3) <br /> | ||
::h(x)=-6x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-6x-3 <br /> <br /> | ::h(x)=-6x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-6x-3 <br /> <br /> | ||
| − | c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung <br /> | + | c) Streckung um den Faktor <span style="color: red">0,5 in x-Richtung</span> <br /> |
| − | ::i(x)=h(kx) mit k=<math>{1 \over 0,5}</math>=2 <br /> | + | ::<span style="color: red">i(x)=h(kx)</span> mit <span style="color: red">k=</span><math>{1 \over 0,5}</math>=<span style="color: red">2</span> <br /> |
| − | ::i(x)=h(2x) <br /> | + | ::i(x)=h(<span style="color: red">2x</span>) <br /> |
::i(x)=-6(2x)<sup>3</sup>+3(2x)<sup>2</sup>-6(2x)-3 <br /> | ::i(x)=-6(2x)<sup>3</sup>+3(2x)<sup>2</sup>-6(2x)-3 <br /> | ||
::i(x)=-48x<sup>3</sup>+12x<sup>2</sup>-12x-3 <br /> <br /> | ::i(x)=-48x<sup>3</sup>+12x<sup>2</sup>-12x-3 <br /> <br /> | ||
| − | d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung <br /> | + | d) Streckung um den Faktor <span style="color: red">0,25 in y-Richtung</span> <br /> |
| − | ::k(x)=0,25<math>\ | + | ::k(x)=<span style="color: red">0,25</span><math>\cdot</math>i(x) <br /> |
::k(x)=-12x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-3x-0,75 <br /> <br /> | ::k(x)=-12x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-3x-0,75 <br /> <br /> | ||
| − | e) Spiegelung an der y-Achse <br /> | + | e) <span style="color: red">Spiegelung an der y-Achse</span> <br /> |
| − | ::l(x)=k(-x)<br /> | + | ::<span style="color: red">l(x)=k(-x)</span> <br /> |
::l(x)=-12(-x<sup>3</sup> )+3(-x<sup>2</sup> )-3(-x)-0,75 <br /> | ::l(x)=-12(-x<sup>3</sup> )+3(-x<sup>2</sup> )-3(-x)-0,75 <br /> | ||
::l(x)=12x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+3x-0,75 <br /> <br /> | ::l(x)=12x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+3x-0,75 <br /> <br /> | ||
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Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 21:07 Uhr
Strecken und Spiegeln von FunktionsgraphenStreckung in y-Richtung
Streckung in x-Richtung Problemstellung:
Spiegelung an der x-AchseBisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten
Spiegelung an der y-AchseNun betrachten wir den Fall g(x)=f(-x) am Beispiel f(x)=2x.
Wie sich der Graph einer Funktion verhält, wenn er an der x-Achse gespiegelt und dann in y-Richtung gestreckt wird, kannst du im untenstehenden Applet beobachten.
Beispielaufgaben Aufgabe 1: Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x3+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x) (handschriftlich). Aufgabe 2:
Gegeben ist die Funktion f(x)=2x3-x2+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.
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f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur dass der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!
)=-1 
=
