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| | Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären. | | Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären. |
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| − | Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung um den Faktor 3 entsteht der Graph g. Wie lautet der Funktionsterm von g? | + | Im untenstehenden Applet ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung entsteht der Graph g. Durch Verschieben des Reglers kannst du diese Streckung beobachten. Überlege dir, welche Auswirkungen eine Streckung um den Faktor 3 auf den Funktionsgraph hat. |
| | |} <br /> | | |} <br /> |
| − | <ggb_applet width="892" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br /> | + | <ggb_applet width="819" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br /> |
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Version vom 23. Januar 2010, 18:43 Uhr
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Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
Streckung in y-Richtung
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Zur Erinnerung:
Bei quadratischen Funktionen haben wir bereits festgestellt, dass der Funktionsgraph durch einen Koeffizienten a weiter oder enger als die Normalparabel
f(x)=x2 sein kann. Diese Erscheinung wird nun allgemein für alle Funktionstypen untersucht.
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Problemstellung:
Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x4-3x2+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären.
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Erklärung:
Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k×f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur das der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!
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Beispiel:
- k=3
- f(1)=-0,5
- g(x)=f(x)
 k
- g(1)=f(1)3
- g(1)=-0,53
- g(1)=-1,5
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Streckung in x-Richtung
Problemstellung:
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Im untenstehenden Applet ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung entsteht der Graph g. Durch Verschieben des Reglers kannst du diese Streckung beobachten. Überlege dir, welche Auswirkungen eine Streckung um den Faktor 3 auf den Funktionsgraph hat.
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Beispiel:
- k=2
- f(
 )=-1
- g(x)=f(
 x)
- g()=f(
 )
- g()=0
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Ist der Streckungsfaktor 0<k<1, z.B. k=0,5, dann entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle 0,5.
Der Zusammenhang lautet also f(x)=g(0,5x) oder g(x)=f(2x). Das Verhalten des Graphen kannst du beobachten, wenn du im oben abgebildeten Koordinatensystem den Regler k verschiebst.
Der Funktionswert an der Stelle x=0 bleibt immer gleich.
Allgemein: g(x)=f(kx) mit dem Streckungsfaktor
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Merke:
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k×f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor in x-Richtung gestreckt.
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Spiegelung an der x-Achse
Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten
Formeln ergeben sich nun die Fälle
g(x)= -1k×f(x) und g(x)=f(-1kx), also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x).
Zunächst betrachten wir den Fall g(x)= -f(x).
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Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f mit dem Funktionsterm f(x)=x4-x2 rot dargestellt. Um die Funktionswerte des grün dargestellten Graphen von g zu erhalten, werden die Funktionswerte von f(x) mit k=-1 multipliziert. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich beim Graphen von g um eine Spiegelung an der x-Achse.
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Spiegelung an der y-Achse
Nun betrachten wir den Fall g(x)=f(-x) am Beispiel f(x)=2x.
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Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f rot dargestellt. Für den Graphen von g (grün dargestellt) gilt der Funktionsterm g(x)=2-x. Betrachtet man die beiden Graphen zusammen, so fällt auf, dass der Graph von g aus einer Spiegelung von f an der y-Achse entsteht.
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Merke:
Der Graph von g mit g(x)= -f(x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der x-Achse hervor.
Der Graph von g mit g(x)=f(-x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor.
Hinweis: Bei einer Streckung beispielsweise um den Streckungsfaktor k=-2 entsteht der Graph von g aus einer Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung um den Streckungsfaktor 2.
Wie sich der Graph einer Funktion verhält, wenn er an der x-Achse gespiegelt und dann in y-Richtung gestreckt wird, kannst du im untenstehenden Applet beobachten.
Beispielaufgaben
Aufgabe 1:
Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x3+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x).
Aufgabe 2:
Gegeben ist die Funktion f(x)=2x3-x2+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.
- a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung
- b) Spiegelung an der x-Achse
- c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung
- d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung
- e) Spiegelung an der y-Achse
Aufgabe 3:
Finde die passenden Paare.
| Spiegelung an der x-Achse |
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| Spiegelung an der y-Achse |
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| Streckung in x-Richtung |
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| Streckung in y-Richtung |
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x)=cos
=2 
