Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen

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''' <span style="color: blue">Zur Erinnerung:</span>''' Bei quadratischen Funktionen haben wir bereits festgestellt, dass der Funktionsgraph durch einen Koeffizienten a  weiter oder enger als die Normalparabel f(x)=x<sup>2</sup> sein kann. Diese Erscheinung wird nun allgemein für alle Funktionstypen untersucht.
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''' <span style="color: blue">Problemstellung:</span>'''
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Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären.
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''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>''' Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k×f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur das der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. '''Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!''' <br /> <br /> <br />
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>''' <br />
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:<span style="color: green">k=3</span> <br />
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:<span style="color: red">f(1)=-0,5</span> <br />
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::g(x)=f(x)<math>\times</math>k <br />
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::g(1)=<span style="color: red">f(1)</span><span style="color: green"><math>\times</math>3</span> <br />
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::g(1)=-0,5<math>\times</math>3 <br />
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Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k×f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f  in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.
 
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k×f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f  in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.
 
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor <math>{1 \over k}</math> in x-Richtung gestreckt.</div> <br /> <br />
 
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor <math>{1 \over k}</math> in x-Richtung gestreckt.</div> <br /> <br />
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Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten Formeln ergeben sich nun die Fälle
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g(x)= -1k×f(x)  und g(x)=f(-1kx), also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x). <br />
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Zunächst betrachten wir den Fall g(x)= -f(x). <br />
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Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f  mit dem Funktionsterm f(x)=x<sup>4</sup>-x<sup>2</sup>  rot dargestellt. Um die Funktionswerte des grün dargestellten Graphen von g zu erhalten, werden die Funktionswerte von f(x) mit k=-1 multipliziert. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich beim Graphen von g um eine Spiegelung an der x-Achse. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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== <span style="color: blue">Spiegelung an der y-Achse</span> ==
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Nun betrachten wir den Fall g(x)=f(-x) am Beispiel f(x)=2<sup>x</sup>. <br />
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[[Bild:Spiegelung an der y-Achse.png|450px|left]]
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Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f rot dargestellt. Für den Graphen von g (grün dargestellt) gilt der Funktionsterm g(x)=2<sup>-x</sup>.  Betrachtet man die beiden Graphen zusammen, so fällt auf, dass der Graph von g aus einer Spiegelung von f an der y-Achse entsteht.
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: red">Merke:</span>''' <br />
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Der Graph von g mit g(x)= -f(x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der          x-Achse hervor. <br />
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Der Graph von g mit g(x)=f(-x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der          y-Achse hervor. <br /> <br />
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''' Hinweis:''' Bei einer Streckung beispielsweise um den Streckungsfaktor k=-2 entsteht der Graph von g aus einer Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung um den Streckungsfaktor 2.</div> <br /> <br />
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== <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> ==
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''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''  <br />
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Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x). <br /> <br />
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<popup name="Lösung">
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[[Bild:Lösung Strekungsaufgabe 1.png|600px]]
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</popup> <br />
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''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br />
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Gegeben ist die Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.<br />
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:a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung <br />
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:b) Spiegelung an der x-Achse <br />
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:c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung <br />
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:d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung <br />
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:e) Spiegelung an der y-Achse <br /> <br />
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<popup name="Lösung">
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f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1 <br /> <br />
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a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung <br />
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::g(x)=k<math>\times</math>f(x) mit k=3 <br />
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::g(x)=3<math>\times</math>(2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1) <br />
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::g(x)=6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3 <br /> <br />
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b) Spiegelung an der x-Achse <br />
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::h(x)=-g(x) <br />
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::h(x)=-(6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3) <br />
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::h(x)=-6x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-6x-3 <br /> <br />
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c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung <br />
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::i(x)=h(kx) mit k=<math>{1 \over 0,5}</math>=2 <br />
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::i(x)=h(2x) <br />
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::i(x)=-6(2x)<sup>3</sup>+3(2x)<sup>2</sup>-6(2x)-3 <br />
 +
::i(x)=-48x<sup>3</sup>+12x<sup>2</sup>-12x-3 <br /> <br />
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d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung <br />
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::k(x)=0,25<math>\times</math>i(x) <br />
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::k(x)=-12x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-3x-0,75 <br /> <br />
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e) Spiegelung an der y-Achse <br />
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::l(x)=k(-x)<br />
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::l(x)=-12(-x<sup>3</sup> )+3(-x<sup>2</sup> )-3(-x)-0,75 <br />
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::l(x)=12x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+3x-0,75 <br /> <br />
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</popup>
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''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br />
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Finde die passenden Paare. <br />
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Version vom 18. Januar 2010, 18:52 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Streckung in y-Richtung

Zur Erinnerung: Bei quadratischen Funktionen haben wir bereits festgestellt, dass der Funktionsgraph durch einen Koeffizienten a weiter oder enger als die Normalparabel f(x)=x2 sein kann. Diese Erscheinung wird nun allgemein für alle Funktionstypen untersucht.

Problemstellung:

Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x4-3x2+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären.

Erklärung: Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k×f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur das der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!


Beispiel:
k=3
f(1)=-0,5
g(x)=f(x)\timesk
g(1)=f(1)\times3
g(1)=-0,5\times3
g(1)=-1,5




Streckung in x-Richtung

Problemstellung:

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung um den Faktor 3 entsteht der Graph g. Wie lautet der Funktionsterm von g?

Erklärung: Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt.
Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder g(x)=f({1 \over 3}x)=cos{1 \over 3}x
(Allgemein: f(x)=g(kx) oder g(x)=f({1 \over k}x))


Beispiel:
k=2
f(\Pi)=-1
g(x)=f({1 \over k}x)
g(\Pi)=f({1 \over 2}\Pi)
g(\Pi)=0


Ist der Streckungsfaktor 0<k<1, z.B. k=0,5, dann entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle 0,5.
Der Zusammenhang lautet also f(x)=g(0,5x) oder g(x)=f(2x). Das Verhalten des Graphen kannst du beobachten, wenn du im oben abgebildeten Koordinatensystem den Regler k verschiebst. Der Funktionswert an der Stelle x=0 bleibt immer gleich.
Allgemein: g(x)=f(kx) mit dem Streckungsfaktor {1 \over k}

Merke:

Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k×f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.

Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor {1 \over k} in x-Richtung gestreckt.


Spiegelung an der x-Achse

Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten Formeln ergeben sich nun die Fälle g(x)= -1k×f(x) und g(x)=f(-1kx), also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x).
Zunächst betrachten wir den Fall g(x)= -f(x).

Spiegelung an der x-Achse.png

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f mit dem Funktionsterm f(x)=x4-x2 rot dargestellt. Um die Funktionswerte des grün dargestellten Graphen von g zu erhalten, werden die Funktionswerte von f(x) mit k=-1 multipliziert. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich beim Graphen von g um eine Spiegelung an der x-Achse.

















Spiegelung an der y-Achse

Nun betrachten wir den Fall g(x)=f(-x) am Beispiel f(x)=2x.

Spiegelung an der y-Achse.png

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f rot dargestellt. Für den Graphen von g (grün dargestellt) gilt der Funktionsterm g(x)=2-x. Betrachtet man die beiden Graphen zusammen, so fällt auf, dass der Graph von g aus einer Spiegelung von f an der y-Achse entsteht.


















Merke:

Der Graph von g mit g(x)= -f(x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der x-Achse hervor.
Der Graph von g mit g(x)=f(-x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor.

Hinweis: Bei einer Streckung beispielsweise um den Streckungsfaktor k=-2 entsteht der Graph von g aus einer Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung um den Streckungsfaktor 2.


Beispielaufgaben

Aufgabe 1:
Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x3+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x).


Aufgabe 2:
Gegeben ist die Funktion f(x)=2x3-x2+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.

a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung
b) Spiegelung an der x-Achse
c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung
d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung
e) Spiegelung an der y-Achse


Aufgabe 3:
Finde die passenden Paare.

Spiegelung an der x-Achse Memory Streckung1.png
Spiegelung an der y-Achse Memory Sreckung2neu.png
Streckung in x-Richtung Memory Streckung3.png
Streckung in y-Richtung Memory Streckung4.png


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