Lösung von Teilaufgabe c: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Verwendung der Tangentialgleichung ===
 
=== Verwendung der Tangentialgleichung ===
  
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  '''y = f<sup>'</sup>( x<sub>0</sub> ) ( x - x<sub>0</sub> ) + f ( x<sub>0</sub> )'''<br />
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  <math>y = f^{'}( x_0)\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0 )</math><br />
  
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y = ( x<sub>0</sub> - a - 1 ) ( -e<sup>a + 2 - x<sub>0</sub></sup> ) ( x - x<sub>0</sub> ) + ( x<sub>0</sub> - a ) e<sup>a + 2 - x<sub>0</sub></sup>
+
<math> y = ( x_0 - a - 1 )\cdot ( -e^{a + 2 - x_0})\cdot ( x - x_0 ) + ( x_0 - a )\cdot e^{a + 2 - x_0})</math>
  
 
  mit:<br />
 
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  a = 2<br />
 
  a = 2<br />
  
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     0 = ( x<sub>0</sub> - 3 ) ( -e<sup>4 - x<sub>0</sub></sup> ) ( -x<sub>0</sub> ) + ( x<sub>0</sub> - 2 ) ( e<sup>4 - x<sub>0</sub></sup> )
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     <math>0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( -e^{4 - x_0} )\cdot ( -x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )</math>
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    0 = ( x<sub>0</sub> - 3 ) ( e<sup>4 - x<sub>0</sub></sup> ) ( x<sub>0</sub> ) + ( x<sub>0</sub> - 2 ) ( e<sup>4 - x<sub>0</sub></sup> )
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    0 = ( x<sub>0</sub><sup>2</sup> - 3x<sub>0</sub> ) ( e<sup>4 - x<sub>0</sub></sup> ) + ( x<sub>0</sub> - 2 ) ( e<sup>4 - x<sub>0</sub></sup> )
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    <math> 0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} )\cdot ( x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )</math>
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    0 = ( x<sub>0</sub><sup>2</sup> - 3x<sub>0</sub> + x<sub>0</sub> - 2 ) ( e<sup>4 - x<sub>0</sub></sup> )
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    0 = ( x<sub>0</sub><sup>2</sup> - 2x<sub>0</sub> - 2 ) ( e<sup>4 - x<sub>0</sub></sup> )                            | e<sup>4 - x<sub>0</sub></sup> > 0
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    <math> 0 = ( x_0^{2} - x_0\cdot 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )</math>
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  --> 0 = ( x<sub>0</sub><sup>2</sup> - 2x<sub>0</sub> - 2 )
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    <math> 0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 3\cdot x_0 + x_0 - 2 )</math>
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Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der Mitternachtsformel
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[http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternachtsformel?title=Mitternachtsformel&redirect=no Mitternachtsformel]
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    <math> 0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 )</math>                   <math>|e^{4 - x_0}>0</math>
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<math>\Rightarrow ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 ) = 0</math>
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Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der [http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternachtsformel?title=Mitternachtsformel&redirect=no Mitternachtsformel]
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  <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2}</math><br />
 
  <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2}</math><br />
 
  <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math><br />
 
  <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math><br />

Version vom 5. Januar 2010, 21:14 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Tangente im Punkt Wa( a + 2 / 2 ) an Gfa mit dem Schnittpunkt A (0 / 2012 )

Lösung; Tangentengleichung 

Tangentengleichung: siehe Formelsammlung Seite 58

y = f^{'}( x_0 )\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0)


mit:
x = 0
y = 2012
x_0 = a + 2
f_a( x_0 ) = f_a( a + 2 ) = 2
f^{'}_a( x_0 ) = f^{'}_a( a + 2 ) = m = -1

           f^{'}_a( a + 2 ) = e^{a + 2 - ( a + 2 )}\cdot ( 1 + a - ( a + 2 ) )

                      = e^{a + 2 - a - 2 }\cdot ( 1 + a -  a - 2 ) )

                      = e^{0}\cdot ( -1 ) ) = -1

    y = f^{'}_a( a + 2 )\cdot ( x - ( a + 2 )) + f ( a + 2 )
    y = (-1)\cdot ( x - a - 2 ) + 2
    y = -x + a + 2 + 2 
    y = -x + a + 4 
 2012 = 0 + a + 4          | -4
    a = 2008

Lösung; Fußweg 

                   y = m\cdot x + t   
           f_a( x_0 ) = f^{'}_a( x_0 )\cdot x_0 + t     
         f_a( a + 2 ) = f^{'}_a( a + 2 )\cdot x_0 + t
                2 = -1\cdot x_1 + t            | - ( -1\cdot x_0)
                t = 2 - ( -1\cdot x_0 )
                t = 2 - ( -1\cdot ( a + 2 ))
                t = 2 - ( -a - 2)
                t = 2 + a + 2 
                t = a + 4                                        |einsetzen in y = m\cdot x + t 

    y = m\cdot x + a + 4
 2012 = -1\cdot 0 + a + 4
 2012 = a + 4 
    a = 2008

Lösung; Clever 

\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = f{'}_a ( x )

\frac{2012 - 2}{0 - ( a + 2 )} = -1 

\frac{2010}{(-a - 2 )} = -1                 | \cdot( -a - 2 )

2010 = a + 2
2008 = a

Berechnung derjenigen Punkte, für welche die Tangente an den Graphen von f2 durch den Ursprung verläuft

Verwendung der Tangentialgleichung 

y = f^{'}( x_0)\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0 )

y = ( x_0 - a - 1 )\cdot ( -e^{a + 2 - x_0})\cdot ( x - x_0 ) + ( x_0 - a )\cdot e^{a + 2 - x_0}) 

mit:

y = 0

x = 0

a = 2


    0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( -e^{4 - x_0} )\cdot ( -x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )

     0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} )\cdot ( x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )

     0 = ( x_0^{2} - x_0\cdot 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )

     0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 3\cdot x_0 +  x_0 - 2 )

     0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 )                   |e^{4 - x_0}>0

\Rightarrow ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 ) = 0

Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der Mitternachtsformel

 x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2}

 x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}

 x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}

 x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4\cdot 3}}{2}

 x_{1,2} = \frac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}

 x_{1,2} = {1\pm\sqrt{3}}

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\p“):  x_{1} = {1\p\sqrt{3}}



Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\m“):  x_{2} = {1\m\sqrt{3}}



      f_a(x_1) =
       f_a(1 + \sqrt{3}) = ( 1 + \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}

                      = ( 1 + \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}

                      = ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 - \sqrt{3})}

                      = ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 - \sqrt{3})}

                     \approx 2,601

                      \Rightarrow B_1(1 + \sqrt{3} / 2,601)

      f_a(x_2) =
       f_a(1 - \sqrt{3}) = ( 1 - \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}

                      = ( 1 - \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}

                      = ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 + \sqrt{3})}

                      = ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 + \sqrt{3})}

                     \approx -310,164

                      \Rightarrow B_2(1 - \sqrt{3} / -310,164)
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