Abi 2016 Analysis I Teil B
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Gegeben ist die in IR definierte Funktion a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von Gf mit der y-Achse und begünden Sie, dass Gf oberhalb der x-Achse verläuft. b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von Gf sowie das Verhalten von f für x→-∞ und für x→+∞. c)
Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f von f die Beziehung d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf. e)Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an Gf im Punkt P(2/f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende:-4≤x≤4, -1≤y≤9). f) Berechnen Sie f (4) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf im Bereich -4≤x≤4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für x ∈ IR die Beziehung Die als Kurvenlänge La;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten (a/f(a)) und (b/f(b)) mit a<b lässt sich mithilfe der Formel h)Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L0;b des Graphen von f zwischen den Punkten (0/f(0)) und (b/f(b)) mit b>0. (Ergebnis: |
. Der Graph von f wird
mit Gf bezeichnet.
für x∈IR gilt. Weisen Sie nach, dass Gf linksgekrümmt ist. (Zur Kontrolle 
)
![\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2}-[f'(x)]^{2} =1](/images/math/0/8/b/08b68e7eb02c86a052149ae4046395c9.png)
gilt.
![L_{a;b}= \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^{2}} \,dx](/images/math/a/b/b/abbfc7460a9649e035c9f0e0193feec1.png)
berechnen.
a)Die Enden eines Seils werden
an zwei vertikalen Masten, die
8,00 m voneinander entfernt
sind, in gleicher Höhe über
dem Erdboden befestigt. Der
Graph Gf aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich bzw. 4|0 dargestellt werden (vgl. Abbildung) . Eine Längeneinheit im Koordinaten- system entspricht einem Meter in der Realität. b) c) d) |
modellhaft den Verlauf des
Seils, wobei die Fußpunkte F1
und F2 der Masten durch die Punkte
(4\0)
