Abi 2016 Analysis I Teil B

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Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2016
Analysis I - Teil B


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Aufgabe 1

Gegeben ist die in IR definierte Funktion f:x \mapsto 
e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von Gf mit der y-Achse und begünden Sie, dass Gf oberhalb der x-Achse verläuft.

b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von Gf sowie das Verhalten von f für x→-∞ x→+∞.

c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f von f die Beziehung f''(x)=\frac{1}{4}*f(x) für x∈IR gilt. Weisen Sie nach, dass Gf linksgekrümmt ist. (Zur Kontrolle  f'(x)= \frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}- e^{-\frac{1}{2}x}) )

d)

e)

f)

g)

h)


Aufgabe 2

a)Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph Gf aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich 
-4 \le x \ge 4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1 und F2 der Masten durch die Punkte (4\0) 

bzw. 

 4|0 dargestellt werden (vgl. Abbildung) . Eine Längeneinheit im Koordinaten- system entspricht einem Meter in der Realität.

b)

c)

d)