Abi 2015 Analysis II Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015 Analysis II - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}$ und Dafinitionsbereich Df = IR \ {-3;-1}. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist: $\frac{2}{(x+1)(x+3)} ; \frac{2}{x^2+4x+3} ; \frac{1}{0,5*(x+2)^2-0,5}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von Gf ist, und geben Sie die Gleichung der vertikalen Asymptoten von Gf an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von Gf mit der y-Achse. Abbildung 1 zeigt den Graph der in IR definerten Funktion p:x > 0,5*(x+2)2 -0,5, die die Nullstelle x=-3 und x=-1 hat. Für x ∈ Df gilt $f(x)=\frac{1}{p(x)}$. 350px [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitung f' und p' die Beziehung $f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}$ für x ∈ Df Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f'(x) und p'(x), dass x=-2 einzige Nullstelle von f' ist und dass Gf in ]-3;-2[ streng monoton steigend sowie in ]-2;-1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunktes von Gf an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px d) Berechnen Sie f(-5) und f(-1,5) und skizzieren Sie Gf unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion $h(x)= \frac{3}{e^{x+1} -1}$ mit Definitionsbereich Dh = ]-1;+∞[. Abbildung 2 zeigt den Graph Gh von h. 350px a)Begründen Sie... [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 3 a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 4 a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]