Abi 2015 Analysis II Teil B: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(8 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 22: Zeile 22:
  
 
;Aufgabe 1
 
;Aufgabe 1
−
Gegeben ist die Funktion f mit <math> f(x)=\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}</math> und Dafinitionsbereich D<sub>f</sub> = IR \ {-3;-1}. Der Graph von f wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet.
+
Der Graph G<sub>f</sub> einer in IR definierten Funktion <math>f : x \mapsto ax^4+bx^3</math>mit a,b ∈ IR besitzt im Punkt O(0|0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
  
−
a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:
 
  
−
<math> \frac{2}{(x+1)(x+3)} ; \frac{2}{x^2+4x+3} ; \frac{1}{0,5*(x+2)^2-0,5}</math>
+
a) W  (1|1) ist ein weiterer Wendepunkt von G<sub>f</sub>. Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.
 +
 
 +
''(Ergebnis: a = 1, b = -2)''
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
 
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_1a_Lös.jpg|700px]]
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1a_Lös.jpg|700px]]
+
 
}}
 
}}
  
−
b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G<sub>f</sub> ist, und geben Sie die Gleichung der vertikalen Asymptoten von G<sub>f</sub> an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von G<sub>f</sub> mit der y-Achse.
+
b)  
  
−
Abbildung 1 zeigt den Graph der in IR definerten Funktion p:x > 0,5*(x+2)<sup>2</sup> -0,5, die die Nullstelle x=-3 und x=-1 hat.
 
−
 
−
Für x ∈ D<sub>f</sub> gilt <math>f(x)=\frac{1}{p(x)}</math>.
 
−
 
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1b.jpg|center|350px]]
 
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
 
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_1b_Lös.jpg|700px]]
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1b_Lös.jpg|700px]]
+
 
}}
 
}}
  
−
c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitung f' und p' die Beziehung <math> f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}</math> für x ∈ D<sub>f</sub>
+
c)  
−
 
+
Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G<sub>f</sub> sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Ge
−
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f'(x) und p'(x), dass x=-2 einzige Nullstelle von f' ist und dass G<sub>f</sub> in ]-3;-2[ streng monoton steigend sowie in ]-2;-1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunktes von G<sub>f</sub> an.
+
ben Sie die Gleichung der Geraden g an.
−
 
+
<math>\frac{1-x}{x^2}</math>
 +
<math> </math>
 +
<math>\frac{2}{x^2-5}</math>
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
 
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_1c_Lös.jpg|700px]]
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1c_Lös.jpg|700px]]
+
 
}}
 
}}
  
−
d) Berechnen Sie f(-5) und f(-1,5) und skizzieren Sie G<sub>f</sub> unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.
+
d)  
  
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
 
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_1d_Lös.jpg|700px]]
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1d_Lös.jpg|700px]]
+
 
}}
 
}}
  
Zeile 71: Zeile 65:
 
;Aufgabe 2
 
;Aufgabe 2
  
−
Gegeben ist die Funktion <math> h(x)= \frac{3}{e^{x+1} -1}</math> mit Definitionsbereich D<sub>h</sub> = ]-1;+∞[. Abbildung 2 zeigt den Graph G<sub>h</sub> von h.
+
a)
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_2.jpg|center|350px]]
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_2a.jpg|center|350px]]
−
a)Begründen Sie...
+
:{{Lösung versteckt|1=
 +
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_2a_Lös.jpg|700px]]
 +
}}
 +
 
 +
b)
  
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
 
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_2b_Lös.jpg|700px]]
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_2a_Lös.jpg|700px]]
+
 
}}
 
}}
−
 
 
</td></tr></table></center>
 
</td></tr></table></center>
 
</div>
 
</div>
Zeile 90: Zeile 86:
  
 
;Aufgabe 3
 
;Aufgabe 3
−
 
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3.jpg|center|350px]]
 
a)
 
a)
  
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_3a_Lös.jpg|700px]]
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3a_Lös.jpg|700px]]
 
}}
 
}}
  
 
b)  
 
b)  
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_3b_Lös.jpg|700px]]
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3b_Lös.jpg|700px]]
 
}}
 
}}
  
 
c)
 
c)
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
[[Bild:ABI2015_AI_TeilA_3c_Lös.jpg|700px]]
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3c_Lös.jpg|700px]]
 
}}
 
}}
−
</td></tr></table></center>
 
−
</div>
 
  
−
<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
+
d)
−
 
+
−
 
+
−
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
+
−
<tr><td  width="800px" valign="top">
+
−
 
+
−
;Aufgabe 4
+
−
 
+
−
 
+
−
a)
+
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
[[Bild:ABI2017_TeilA_4ab_Lös.jpg|700px]]
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3d_Lös.jpg|700px]]
 
}}
 
}}
  
−
a)
+
e)
 
:{{Lösung versteckt|1=
 
:{{Lösung versteckt|1=
−
[[Bild:ABI2017_TeilA_4ab_Lös.jpg|700px]]
+
[[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3e_Lös.jpg|700px]]
 
}}
 
}}
 
</td></tr></table></center>
 
</td></tr></table></center>

Aktuelle Version vom 26. Juli 2017, 09:13 Uhr


Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015
Analysis II - Teil B


Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken


Aufgabe 1

Der Graph Gf einer in IR definierten Funktion f : x \mapsto ax^4+bx^3mit a,b ∈ IR besitzt im Punkt O(0|0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.


a) W (1|1) ist ein weiterer Wendepunkt von Gf. Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.

(Ergebnis: a = 1, b = -2)

700px

b)

700px

c) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Ge ben Sie die Gleichung der Geraden g an. \frac{1-x}{x^2}

\frac{2}{x^2-5}

700px

d)

700px


Aufgabe 2

a)

350px
700px

b)

700px


Aufgabe 3
350px

a)

700px

b)

700px

c)

700px

d)

700px

e)

700px


Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=Abitur_Mathematik/Abi_2015_Analysis_II_Teil_B&oldid=69825“