Abi 2013 Analysis II Teil B: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 22: | Zeile 22: | ||
; 1 | ; 1 | ||
| + | Gegeben ist die Funktion <math> f:x \mapsto \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{8}{x+1} </math> mit Definitionsbereich IR\{1}. Abbildung 2 zeigt den Graphen G<sub>f</sub> von f. <br /> | ||
| + | |||
[[Bild:ABI2013_AII_TeilB_1.jpg|center|350px]] | [[Bild:ABI2013_AII_TeilB_1.jpg|center|350px]] | ||
| − | a) | + | <br /> |
| + | |||
| + | a) Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von G<sub>f</sub> an und zeigen Sie rechnerisch, dass G<sub>f</sub> seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein. | ||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
[[Bild:ABI2013_AII_TeilB_1a_Lös.jpg|700px]] | [[Bild:ABI2013_AII_TeilB_1a_Lös.jpg|700px]] | ||
}} | }} | ||
| − | b) | + | b) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von G<sub>f</sub> . |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
[[Bild:ABI2013_AII_TeilB_1b_Lös.jpg|700px]] | [[Bild:ABI2013_AII_TeilB_1b_Lös.jpg|700px]] | ||
| Zeile 44: | Zeile 48: | ||
; 2 | ; 2 | ||
| − | a) | + | Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass G<sub>f</sub> bezüglich des Schnittpunkts P(-1/-1) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von G<sub>f</sub> kann die Funktion g betrachtet werden, deren Graph aus G<sub>f</sub> durch Verschiebung um 1 in positive x-Richtung und um 1 in positive y-Richtung hervorgeht.<br /> |
| + | <br /> | ||
| + | |||
| + | a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm von g. Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von G<sub>f</sub> nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.<br /> | ||
| + | :: (Teilergebnis: <math> g(x) = \frac{1}{2}x+\frac{8}{x} </math> ) | ||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
[[Bild:ABI2013_AII_TeilB_2a_Lös.jpg|700px]] | [[Bild:ABI2013_AII_TeilB_2a_Lös.jpg|700px]] | ||
}} | }} | ||
| − | b) | + | b) Zeigen Sie, dass <math> \int_{0}^{4} f (x)\,dx = 2+8 \cdot ln5 </math> gilt. <br /> |
| + | Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals <math> \int_{-6}^{-2} f (x)\,dx </math>;<br /> | ||
| + | Veranschaulichen Sie ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2. <br /> | ||
| + | |||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
[[Bild:ABI2013_AII_TeilB_2b_Lös.jpg|700px]] | [[Bild:ABI2013_AII_TeilB_2b_Lös.jpg|700px]] | ||
| Zeile 65: | Zeile 76: | ||
| − | ; 3 | + | ; 3 |
| + | Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm. | ||
| + | Die bisher betrachtete Funktion f gibt für 0 ≤ x ≤ 15 die Höhe von S über dem Dosenboden in Zentimetern an; dabei ist x die Füllhöhe in Zentimetern (vgl. Abbildung 3). | ||
[[Bild:ABI2013_AII_TeilB_3.jpg|right|350px]] | [[Bild:ABI2013_AII_TeilB_3.jpg|right|350px]] | ||
| − | a) | + | |
| + | a) | ||
| + | Berechnen Sie f (0) und f (15). Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang. | ||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
[[Bild:ABI2013_AII_TeilB_3a_Lös.jpg|700px]] | [[Bild:ABI2013_AII_TeilB_3a_Lös.jpg|700px]] | ||
| Zeile 73: | Zeile 88: | ||
b) | b) | ||
| + | Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts S während des Füllvorgangs. Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass x-Koordinate und y-Koordinate des Tiefpunkts von Gf übereinstimmen? | ||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
[[Bild:ABI2013_AII_TeilB_3b_Lös.jpg|700px]] | [[Bild:ABI2013_AII_TeilB_3b_Lös.jpg|700px]] | ||
| Zeile 78: | Zeile 94: | ||
c) | c) | ||
| + | Für welche Füllhöhen x liegt der Schwerpunkt S höchstens 5 cm hoch? Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung. | ||
| + | |||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
[[Bild:ABI2013_AII_TeilB_3c_Lös.jpg|700px]] | [[Bild:ABI2013_AII_TeilB_3c_Lös.jpg|700px]] | ||
Version vom 15. April 2018, 11:30 Uhr
|
|
Gegeben ist die Funktion
a) Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von Gf an und zeigen Sie rechnerisch, dass Gf seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein. b) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von Gf .
|
mit Definitionsbereich IR\{1}. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f.
Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass Gf bezüglich des Schnittpunkts P(-1/-1) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von Gf kann die Funktion g betrachtet werden, deren Graph aus Gf durch Verschiebung um 1 in positive x-Richtung und um 1 in positive y-Richtung hervorgeht. a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm von g. Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von Gf nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
b) Zeigen Sie, dass
|
)
gilt. 
;
|
Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm. Die bisher betrachtete Funktion f gibt für 0 ≤ x ≤ 15 die Höhe von S über dem Dosenboden in Zentimetern an; dabei ist x die Füllhöhe in Zentimetern (vgl. Abbildung 3). a) Berechnen Sie f (0) und f (15). Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang.  b) Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts S während des Füllvorgangs. Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass x-Koordinate und y-Koordinate des Tiefpunkts von Gf übereinstimmen?  c) Für welche Füllhöhen x liegt der Schwerpunkt S höchstens 5 cm hoch? Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung.  |
