- Aufgabe 2
Nach dem schriftlichen Abitur trifft sich der Mathematik-Leistungskurs in der Eisdiele „La dolce vita“. Der Pächter Roberto ist gerade ungehalten, weil er in einem Karton 4 zerbrochene Eiswaffeln
entdeckt hat. Roberto bekommt seine Eiswaffeln in Kartons zu je 48 Stück. Er berichtet, dass er schon von der letzten Lieferung aus 50 Kartons insgesamt 72 Waffeln wegwerfen musste, weil sie zerbrochen waren.
Die Kollegiaten geraten ins Fachsimpeln. Im Folgenden wird angenommen, dass im Mittel der Anteil an zerbrochenen Waffeln genau dem aus der letzten Lieferung von 2400 Waffeln entspricht und dass die zerbrochenen Waffeln zufällig verteilt sind.
- a)
- Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton genau 4 Waffeln zerbrochen sind?
- [ Ergebnis: 4,13 % ]
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- b)
- Wie viele Kartons muss man mindestens öffnen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % wenigstens in einem Karton genau 4 zerbrochene Waffeln vorzufinden?
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Verbesserung der blauen Anmerkung (s. unten):
- man verwendet 0,04130, da nicht genau 4 Waffeln zerbrochen sein sollen (nicht da keine zerbrochen sein sollen)
- q = 0,9587 schließt neben dem Fall, dass alle okay sind auch diejenigen Fälle ein, dass nicht genau 4 Waffeln zerbrochen sind (z.B. 1, 2, 3, 5, ...)
- c)
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der zerbrochenen Waffeln in einer Lieferung von 50 Kartons um höchstens 12 vom Erwartungswert abweicht? Schätzen Sie diese Wahrscheinlichkeit mit der Ungleichung von Tschebyschow ab.
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Die Kollegiaten bieten Roberto an, die Vermutung zu testen, dass der Anteil an zerbrochenen Waffeln angestiegen ist. Dazu sollen 8 Kartons aus der neuen Lieferung zufällig ausgewählt und untersucht werden.
- d)
- Bestimmen Sie mit Hilfe der Normalverteilung auf dem Signifikanzniveau von 5 % die Entscheidungsregel für den Test der Nullhypothese H0: , dass also der Anteil p der zerbrochenen Waffeln gegenüber der letzten Lieferung nicht gestiegen ist.
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