Abi 2015 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}$ und Definitionsbereich Df = IR\{-3; -1}. Der Graph vonf wird mit Gf bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist: $\frac{2}{(x+1)(x+3)}$ ; $\frac{2}{x^2+4x+3}$ ; $\frac{1}{0,5\cdot (x+2)^2-0,5}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von Gf ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von Gf an. Be- stimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse. Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion $p : x \mapsto 0,5\cdot(x+2)^2-0,5$, die die Nullstellen x = -3 und x = -1 hat. Für x ∈ Df gilt $f(x)=\frac{1}{p(x)}$. 350px [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f' und p' die Beziehung: $f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}$ für x ∈ Df. Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f'(x) und p'(x), dass x = -2 einzige Nullstelle von f' ist und dass Gf in ]-3; -2[ streng monoton steigend sowie in ]-2;-1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] G d) Berechnen Sie f(-5) und f(-1,5) und skizzieren sie Gf unter Berücksichtigung der Ergebnisse in Abbildung 1. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] G

Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion $h(x)= \frac{3}{e^{x+1} -1}$ mit Definitionsbereich Dh = ]-1;+∞[. Abbildung 2 zeigt den Graph Gh von h. 350px a) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass $\lim_{x\to\infty}h(x)= 0$ gilt. Zeigen Sie rechnerisch für x ∈ Dh, dass für die Ableitung h′ von h gilt: h′(x)<0. Gegeben ist ferner die in Dh definierte Integralfunktion H0:$\int_{x}^{0} h (t)\,dt$ . [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind: α) Der Graph von H0 ist streng monoton steigend. β) Der Graph von H0 ist rechtsgekrümmt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Geben Sie die Nullstelle von H0 an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte H0 (-0,5) sowie H0 (3). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von H0 im Bereich -0,5 ≤ x ≤ 3. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 3 In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion h aus Aufgabe 2 beschreibt für x ≥ 0 modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs ergangene Zeit in Minuten. a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion f aus Aufgabe 1 hervorgeht. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Berechnen Sie einen Näherungswert für $\int_{0}^{1} h (x)\,dx$, indem Sie den Zusammenhang $\int_{0}^{1} h (x)\,dx$ ≈ $\int_{0}^{1} k (x)\,dx$ verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px