Abi 2015 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015 Analysis I - Teil B

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Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}$ und Definitionsbereich D_f = IR\{-3; -1}. Der Graph vonf wird mit G_f bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

$\frac{2}{(x+1)(x+3)}$ ; $\frac{2}{x^2+4x+3}$ ; $\frac{1}{0,5\cdot (x+2)^2-0,5}$

b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G_f ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von G_f an. Be- stimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G_f mit der y-Achse. Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion $p : x \mapsto 0,5\cdot(x+2)^2-0,5$ , die die Nullstellen x = -3 und x = -1 hat.

Für x ∈ D_f gilt $f(x)=\frac{1}{p(x)}$ .

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c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f' und p' die Beziehung: $f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}$ für x ∈ D_f.

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f'(x) und p'(x), dass x = -2 einzige Nullstelle von f' ist und dass G_f in ]-3; -2[ streng monoton steigend sowie in ]-2;-1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von G_f an.

G

d) Berechnen Sie f(-5) und f(-1,5) und skizzieren sie G_f unter Berücksichtigung der Ergebnisse in Abbildung 1.

G

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $h(x)= \frac{3}{e^{x+1} -1}$ mit Definitionsbereich D_h = ]-1;+∞[. Abbildung 2 zeigt den Graph G_h von h.

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a) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass $\lim_{x\to\infty}h(x)= 0$ gilt.Zeigen Sie rechnerisch für hxD,dass für die Ableitung hvon h gilt:h x0.Gegeben ist ferner die in hD definierte Integralfunktion x00H : xh t dt.