Abi 2015 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}$ und Definitionsbereich Df = IR\{-3; -1}. Der Graph vonf wird mit Gf bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist: $\frac{2}{(x+1)(x+3)}$ ; $\frac{2}{x^2+4x+3}$ ; $\frac{1}{0,5\cdot (x+2)^2-0,5}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von Gf ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von Gf an. Be- stimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse. Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion $p : x \mapsto 0,5\cdot(x+2)^2-0,5$, die die Nullstellen $x=-3$ und $x=-1$ hat. Für [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c)Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f und p die Beziehung : Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von fx und px, dass x2 einzige Nullstelle von f ist und dass fG in 3; 2 streng monoton steigend sowie in 2; 1 streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von f G an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] G d)Berechnen Sie f(5) und f(1,5) und skizzieren sie Gf unter Berücksichtigung der Ergebnisse in Abbildung 1. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] G