Abi 2012 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2012 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion $f:x \mapsto \frac{2e^{x}}{e^{x}+9}$ mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f. a) Zeigen Sie rechnerisch, dass Gf genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt und geben Sie die Koordinaten von S an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Begründen Sie mithilfe des Funktionsteams von f, dass $\lim_{x\to- \infty} f(x)=0$ und $\lim_{x\to+ \infty} f(x)=2$ gilt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Gf in IR streng monoton steigt. (zur Kontrolle: $f'(x) = \frac{18e^{x}}{(e^{x}+9)^{2}}$) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Gfim Achsenschnittpunkt S. (Ergebnis: y= 0,18x+0,2) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die Gf mit den Koordinatenachsen und der Geraden x=4 einschließt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] f) Begründen Sie, dass f in IR umkehrbar ist. Gebe Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Umkehrfunktion f-1 an und zeichnen Sie den Graphen von f-1 in Abbildung 2 ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]