2010 IV
|
|
Eine große Kiste enthält gut gemischt mehrere hundert rote, blaue, grüne
und gelbe Bausteine, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden. Jeder
fünfte Baustein ist gelb, 8 % sind grün. Außerdem befinden sich dreimal
so viele blaue wie grüne Steine in der Kiste. a) Aus der Kiste werden 10 Bausteine zufällig entnommen. Zeigen Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis „Keiner der Bausteine ist grün“ bei den Modellen „Ziehen mit Zurücklegen“ und „Ziehen ohne Zurücklegen“ um weniger als 0,2 Prozentpunkte unterscheiden, wenn von einer Kiste mit 1000 Steinen ausgegangen wird. Im Folgenden soll jeweils das Modell „Ziehen mit Zurücklegen“
verwendet werden. b) Wie viele Bausteine müssen mindestens aus der Kiste zufällig entnommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 75 % wenigstens ein grüner Baustein darunter ist? c) Lars denkt sich ein Spiel aus. Ein Spieler soll dazu 16 Bausteine aus der Kiste zufällig entnehmen; für jeden gelben und für jeden blauen Stein zahlt Lars 1 €, für jeden grünen 5 € an den Spieler. Für jeden roten Baustein muss der Spieler jedoch einen bestimmten Betrag an ihn zahlen. Wie hoch muss Lars diesen Betrag mindestens festsetzen, damit er bei häufigem Spielen im Mittel keinen Verlust zu befürchten hat? Es werden zufällig 16 Bausteine aus der Kiste entnommen. Die beiden
Säulendiagramme zeigen die Wahrscheinlichkeiten, dabei k gelbe Steine
zu erhalten. Das linke Diagramm zeigt die zugehörige Binomialverteilung,
das rechte ergibt sich bei Näherung durch die Normalverteilung. d) Prüfen Sie, ob das Kriterium für eine brauchbare Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung erfüllt ist (vgl. Formelsammlung). Zeigen Sie rechnerisch, dass es einen Wert für k gibt, bei dem die in den Diagrammen dargestellten Wahrscheinlichkeiten P(k) und P*(k) um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander abweichen. e) In die Kiste werden weitere gelbe Bausteine gegeben. Um wie viel Prozent muss dabei die Anzahl der gelben Bausteine erhöht werden, damit anschließend jeder dritte Baustein in der Kiste gelb ist?
|
|
