2008 II
Erstellt von Alistair Mainka und Benjamin Schleicher. |
Gegeben ist die Funktion mit Definitionsbereich Df = IR . Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt den Graphen Gf von f. a) Untersuchen Sie Gf rechnerisch auf Symmetrie und Schnittpunkte mit den Achsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x → + ∞ und x → − ∞. (4BE)
b) Zeigen Sie, dass gilt: . Bestimmen Sie durch Rechnung das Monotonieverhalten von f und die Koordinaten der Wendepunkte. (6BE)
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Die Integralfunktion F ist definiert durch , x ∈ IR. a) Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F. Bestimmen Sie aus der Abbildung mit Hilfe des Gitternetzes Näherungswerte für F(0,5), F(1), F(2) und F(4). Tragen Sie den Graphen von F im Bereich x ∈[−4;4] in die gegebene Abbildung ein. (8BE)
Könnt ihr die Abbildung mit dem eingezeichneten Graphen von F noch hochladen? b) Für x > 1 gilt offensichtlich . Zeigen Sie damit, dass ist. Was folgt für die Funktionswerte von F für x ≥ 4? (5BE)
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Die Funktion f soll im Folgenden in einer Umgebung von x = 0 durch eine Polynomfunktion p mit dem Term , a, b, c ∈ IR , angenähert werden. a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass f und p an der Stelle x = 0 im Funktionswert und in den Werten der 1. bis einschließlich 4. Ableitung übereinstimmen. Ohne Nachweis darf verwendet werden: (6BE) [Zur Kontrolle: ]
b) Zeigen Sie, dass p keine Nullstelle besitzt. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Graphen von p und der Geraden x = 1 eingeschlossen wird, auf 4 Dezimalen gerundet. (5BE) [Zur Kontrolle: A ≈ 2,3332]
c) Bestimmen Sie nun den Wert des Integrals mit Hilfe der Gauß’schen ϕ-Funktion () und dem stochastischen Tafelwerk. Um wie viel Prozent weicht der Näherungswert aus Teilaufgabe 3b von diesem Ergebnis ab? (6BE)
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