- Aufgabe 2
Ein kreiszylindrischer Becher, der zum Teil mit Wasser gefüllt ist, rotiert mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse. Die Oberfläche der Flüssigkeit ist eine Drehfläche, die durch Rotation einer Parabel entsteht. Die Symmetrieachse der Parabel fällt dabei mit der Symmetrieachse des Bechers zusammen.
Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die zu Abb. 1 gehörende
Parabel die Gleichung
besitzt.
a) Betrachten Sie zunächst Abb. 1 und zeigen Sie mit Hilfe einer
geeigneten Integration, dass folgende Aussage gilt: Das Volumen des
Wassers ist im Bereich 0 ≤ y ≤ H halb so groß wie das Volumen eines
Kreiszylinders mit Höhe H und Grundkreisradius R.
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b) Die Rotationsgeschwindigkeit wird nun verringert. Die Wasseroberfläche
nimmt dabei die in Abb. 2 dargestellte Form an.
Zeigen Sie unter Verwendung der Aussage aus Teilaufgabe 2a, dass der
obere Rand des Wassers so weit absinkt, wie der Scheitel ansteigt, dass
also gilt: t = s .
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