2007 II

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007 Infinitesimalrechnung II Download der Originalaufgaben: Abitur 2007 LK Mathematik Bayern Lösungen erstellt von: Peter Schott, Philipp Stich

Aufgabe 1 1. Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto \frac{x}{ln x}$ mit dem maximalen Definitionsbereich Df = IR+ \ {1}. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs. (Hinweis: darf ohne Beweis verwendet werden.) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f sowie Art und Lage des Extrempunktes E von Gf . [Zur Kontrolle:$f'(x)=\frac{lnx-1}{(ln x)^2}$] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Zeigen Sie, dass Gf einen Wendepunkt W besitzt, und berechnen Sie dessen Koordinaten. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Berechnen Sie und skizzieren Sie Gf unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Zeigen Sie: Was folgt für ? Begründen Sie Ihre Antwort. Dabei dürfen Sie ohne Nachweis verwenden, dass für x >1 gilt: ln x < x −1. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2