2007 V

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007 Analytische Geometrie V Lösung von Ruth Burkard, Julian Weinbeer und Veronika Weinbeer

Aufgabe 1 Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Ebenenschar Ek : k2x1 + k 2x2 - k2 = 0 , mit k ∈ IR als Scharparameter. a) Ermitteln Sie, für welche Werte von k die Ebene Ek den Punkt P(1|2|-3)und zugleich den Punkt Q(0|1|0) enthält. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Die beiden Ebenen E2 und E-3 schneiden sich in einer Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und den    Schnittwinkel der beiden Ebenen auf eine Dezimale gerundet.     [mögliches Teilergebnis: g: $\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$, λ ∈ IR ] Bestimmung der Gleichung in Parameterform 1. Lösungsweg: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 2. Lösungsweg: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Berechnung des Schnittwinkels [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Mit e(k) werde der Betrag des Abstands der Ebene Ek vom Koordinatenursprung bezeichnet. Zeigen Sie, dass                                 e(k)=$\frac{k^2}{\sqrt{k^2+k^4+2}}$ und dass e(k)<1 ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Es gibt zwei Scharebenen, deren Schnittwinkel mit der x3-Achse 30° besteht. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von k. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Untersuchen Sie, ob die Gerade g aus Teilaufgabe 1b senkrecht auf einer Ebene der Schar Ek steht. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]