2009 I

download Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}$ mit k ∈ IR⁺ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von f_k wird mit G_k bezeichnet.

a) Untersuchen Sie G_k auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f_k für x → −∞ und x → +∞ an.

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b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G_k . Die Hochpunkte von G_k bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]

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c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben.

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d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen G_k für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein.

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e) Für jedes k begrenzt G_k mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k₁, k₂ (k₁ ≠ k₂) begrenzen G_k1 und G_k2 im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen an.

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Aufgabe 2

Nun wird die Schar der Funktionen $f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}$ mit k ∈ IR^-₀ betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D_k von fk in Abhängigkeit von k an.

Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f_k an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.

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Aufgabe 3

a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion $f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}$ mit − r ≤ x ≤ r ist.

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Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f₂ und f₃ . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f₂ und f₃ an.

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b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt: $V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)$

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