Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen Streckung in y-Richtung Zur Erinnerung: Bei quadratischen Funktionen habt ihr in der neunten Klasse bereits gelernt, dass der Funktionsgraph durch einen Koeffizienten a weiter oder enger als die Normalparabel f(x)=x2 sein kann. Diese Erscheinung wird nun allgemein für alle Funktionstypen untersucht. Problemstellung: Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x4-3x2+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g. Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären. Erklärung: Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k$\cdot$f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur dass der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. Die Nullstellen bleiben dabei unverändert! Beispiel: k=3 f(1)=-0,5 g(x)=f(x)$\cdot$k g(1)=f(1)$\cdot$3 g(1)=-0,5$\cdot$3 g(1)=-1,5 Streckung in x-Richtung Problemstellung: Im untenstehenden Applet ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung entsteht der Graph g. Durch Verschieben des Reglers kannst du diese Streckung beobachten. Überlege dir, welche Auswirkungen eine Streckung um den Faktor 3 auf den Funktionsgraph hat. Erklärung: Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt. Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder $g(x)=f \left( \frac {1} {3}x \right)=cos \frac {1} {3}x$ Beispiel: k=3 f($\Pi$)=-1 $g(x)=f\left( \frac {1} {k} \right)$ $g(\Pi)=f \left( \frac {1} {3} \Pi \right)$ g($\Pi$)=0,5 Ist der Streckungsfaktor 0<k<1, z.B. k=0,5, dann entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle 0,5. Der Zusammenhang lautet also f(x)=g(0,5x) oder g(x)=f(2x). Das Verhalten des Graphen kannst du beobachten, wenn du im oben abgebildeten Koordinatensystem den Regler k verschiebst. Der Funktionswert an der Stelle x=0 bleibt immer gleich. Allgemein: g(x)=f(kx) mit dem Streckungsfaktor ${1 \over k}$ Merke: Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k$\cdot$f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt. Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor ${1 \over k}$ in x-Richtung gestreckt. Spiegelung an der x-Achse Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten Formeln ergeben sich nun die Fälle g(x)= -1k$\cdot$f(x) und g(x)=f(-1kx), also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x). Zunächst betrachten wir den Fall g(x)= -f(x) . Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f mit dem Funktionsterm f(x)=x4-x2 rot dargestellt. Um die Funktionswerte des grün dargestellten Graphen von g zu erhalten, werden die Funktionswerte von f(x) mit k=-1 multipliziert. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich beim Graphen von g um eine Spiegelung an der x-Achse. Spiegelung an der y-Achse Nun betrachten wir den Fall g(x)=f(-x) am Beispiel f(x)=2x. Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f rot dargestellt. Für den Graphen von g (grün dargestellt) gilt der Funktionsterm g(x)=2-x. Betrachtet man die beiden Graphen zusammen, so fällt auf, dass der Graph von g aus einer Spiegelung von f an der y-Achse entsteht. Merke: Der Graph von g mit g(x)=-f(x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der x-Achse hervor. Der Graph von g mit g(x)=f(-x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor. Hinweis: Bei einer Streckung beispielsweise um den Streckungsfaktor k=-2 entsteht der Graph von g aus einer Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung um den Streckungsfaktor 2. Wie sich der Graph einer Funktion verhält, wenn er an der x-Achse gespiegelt und dann in y-Richtung gestreckt wird, kannst du im untenstehenden Applet beobachten. Beispielaufgaben Aufgabe 1: Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x3+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x) (handschriftlich). Lösung anzeigen Lösung verstecken Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x)=2x3-x2+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm. a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung b) Spiegelung an der x-Achse c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung e) Spiegelung an der y-Achse Lösung anzeigen Lösung verstecken f(x)=2x3-x2+2x+1 a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung g(x)=k$\cdot$f(x) mit k=3 g(x)=3$\cdot$(2x3-x2+2x+1) g(x)=6x3-3x2+6x+3 b) Spiegelung an der x-Achse h(x)=-g(x) h(x)=-(6x3-3x2+6x+3) h(x)=-6x3+3x2-6x-3 c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung i(x)=h(kx) mit k=${1 \over 0,5}$=2 i(x)=h(2x) i(x)=-6(2x)3+3(2x)2-6(2x)-3 i(x)=-48x3+12x2-12x-3 d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung k(x)=0,25$\cdot$i(x) k(x)=-12x3+3x2-3x-0,75 e) Spiegelung an der y-Achse l(x)=k(-x) l(x)=-12(-x3 )+3(-x2 )-3(-x)-0,75 l(x)=12x3-3x2+3x-0,75 Aufgabe 3: Finde die passenden Paare. Spiegelung an der x-Achse Spiegelung an der y-Achse Streckung in x-Richtung Streckung in y-Richtung

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