Lösung: lokale Extrempunkte

$y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}$ mit $x\in R$ ; $a\in R$

lokale Extrempunkte

Damit man Extrempunkte einer Funktion finden kann, braucht man ihre erste Ableitung

$y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}$

Um die erste Ableitung zu bekommen, muss man hier die Produktregel verwenden [Hilfe zur Produktregel]

$f_a^{'}(x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}\cdot( -1 ) + 1\cdot e^{a+2-x}$

$= e^{a+2-x}\cdot (( x - a )\cdot (-1) + 1 )$

$= e^{a+2-x}\cdot ( -x + a + 1 )$

$= e^{a+2-x}\cdot ( 1 + a - x )$

Der/Die Extrempunkt/e können an der Stelle liegen, an der die erste Ableitung der Funktion gliech Null ist. Die erste Ableitung einer Funktion zeigt das Steigungsverhalten dieser an. Wenn dieses gleich Null ist, besitzt die Funktion eine waagrechte Tangent an dieser Stelle. Dass heißt es könnte ein Extrempunkt(Maximum^Hochpunkt und/oder Minimum ^ Tiefpunkt)auftreten.Dies muss jedoch erst mit der zweiten Ableitung oder mit dem Monotonieverhalten der Funktion überprüft werden, da auch ein Terassenpunktauftreten könnte.

$f_a^{'}(x) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |e^{a+2-x} > 0$

$( 1 + a - x ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |- 1 ; - a$

$-x = -1 + a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\cdot (-1)$

$x = 1 + a \;$

$y = f_a ( 1 + a ) = ( 1 + a - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + a )}$

$= 1\cdot e^{a + 2 - 1 - a }$

$= 1\cdot e^{1}$

$= e \;$

$\rightarrow$ Möglicher Extrempunkt: $( 1 + a / e )\;$

Überprüfung des Extrempunkts

1. Möglichkeit

H-Methode
Vorzeichenwechsel (VZW) des Monotonieverhaltens der Funktion

$\lim_{h\to 0}f_a^{'}( 1 + a + h ) = \lim_{h\to 0}( 1 + a -( 1 + a + h )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + a + h)}$

$=\lim_{h\to 0} ( 1 + a - 1 - a - h )\cdot e^{a + 2 - 1 - a - h}$

$= \lim_{h\to 0}e^{1 - h}\cdot ( -h )$

$= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{1 - h}$

$\lim_{h\to 0} f_a^{'} ( 1 + a + h ) < 0$

$\rightarrow$ An der Stelle $f_a^{'}( 1 + a + h )\;$ fällt der Graph (I)

$\lim_{h\to 0}f_a^{'} ( 1 + a - h ) = \lim_{h\to 0}( 1 + a -( 1 + a - h ) e^{a + 2 - ( 1 + a - h)}$

$= \lim_{h\to 0}( 1 + a - 1 - a + h )\cdot e^{a + 2 - 1 - a + h)}$

$= \lim_{h\to 0} e^{1+ h}\cdot ( +h )$

$= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{1+ h}$

$\lim_{h\to 0} f_a^{'} ( 1 + a - h ) > 0$

$\rightarrow$ An der Stelle $f_a^{'}( 1 + a - h )\;$ steigt der Graph (II)

Aus (I) und (II) folgt:
VZW bei $x = 1 + a\;$
$\Rightarrow$ Extrempunkt bei $( 1 + a / e )\;$

zur Verdeutlichung

Monotonieverhalten

	x<1+a		x=1+a		x>1+a
ea + 2 - x		+		+
( 1 + a - x )		+		-
fa' ( x )		+		-

$\;\;\;\nearrow \;\;\;\;\;\;\;\;\; \searrow$

$\rightarrow Maximum \;( 1 + a / e )\;$

2. Möglichkeit

Überprüfung durch die zweite Ableitung [Hilfe zur Produktregel]

$y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}$

$f_a^{'}(x) = e^{a + 2 - x}\cdot ( 1 + a - x )$

$f_a^{''}(x) = e^{a + 2 - x}\cdot ( 1 + a - x )\cdot ( -1 ) + ( -1 )\cdot e^{a + 2 - x}$

$= -e^{a + 2 - x}\cdot ( 1 + a - x + 1 )$

$= e^{a + 2 - x}\cdot ( x - a - 2 )$

Wenn die zweite Ableitung an dem möglichen Extrempunkt größer als Null ist hat man ein Minimum, wenn sie kleiner Null ist ein Maximum, bei gleich Null könnte ein Terrassenpunkt auftreten.

$f_a^{''} ( 1 + a ) = e^{a + 2 - ( 1 + a )}\cdot ( ( 1 + a ) - a - 2 )$

$= e^{a + 2 - 1 - a }\cdot ( -1 )$

$= e^{1}\cdot ( -1 )$

$< 0\;$

$\rightarrow Max ( 1 + a / e )$