Inhaltsverzeichnis

1 Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Streckung in y-Richtung


Zur Erinnerung: Bei quadratischen Funktionen haben wir bereits festgestellt, dass der Funktionsgraph durch einen Koeffizienten a weiter oder enger als die Normalparabel f(x)=x² sein kann. Diese Erscheinung wird nun allgemein für alle Funktionstypen untersucht.


Problemstellung: Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x⁴-3x²+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären.

Erklärung: Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k×f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur das der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!

Beispiel:

k=3

f(1)=-0,5

g(x)=f(x) $\times$ k

g(1)=f(1) $\times$ 3

g(1)=-0,5 $\times$ 3

g(1)=-1,5

Streckung in x-Richtung

Problemstellung:

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung um den Faktor 3 entsteht der Graph g. Wie lautet der Funktionsterm von g?

Erklärung: Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt.
Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder g(x)=f( ${1 \over 3}$ x)=cos ${1 \over 3}$ x
(Allgemein: f(x)=g(kx) oder g(x)=f( ${1 \over k}$ x))

Beispiel:

k=2

f( $\Pi$ )=-1

g(x)=f( ${1 \over k}$ x)

g( $\Pi$ )=f( ${1 \over 2}$ $\Pi$ )

g( $\Pi$ )=0

Ist der Streckungsfaktor 0<k<1, z.B. k=0,5, dann entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle 0,5.
Der Zusammenhang lautet also f(x)=g(0,5x) oder g(x)=f(2x). Das Verhalten des Graphen kannst du beobachten, wenn du im oben abgebildeten Koordinatensystem den Regler k verschiebst. Der Funktionswert an der Stelle x=0 bleibt immer gleich.
Allgemein: g(x)=f(kx) mit dem Streckungsfaktor ${1 \over k}$

Merke:

Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k×f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.

Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor ${1 \over k}$ in x-Richtung gestreckt.

Spiegelung an der x-Achse

Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten Formeln ergeben sich nun die Fälle g(x)= -1k×f(x) und g(x)=f(-1kx), also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x).
Zunächst betrachten wir den Fall g(x)= -f(x).

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f mit dem Funktionsterm f(x)=x⁴-x² rot dargestellt. Um die Funktionswerte des grün dargestellten Graphen von g zu erhalten, werden die Funktionswerte von f(x) mit k=-1 multipliziert. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich beim Graphen von g um eine Spiegelung an der x-Achse.

Spiegelung an der y-Achse

Nun betrachten wir den Fall g(x)=f(-x) am Beispiel f(x)=2^x.

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f rot dargestellt. Für den Graphen von g (grün dargestellt) gilt der Funktionsterm g(x)=2^-x. Betrachtet man die beiden Graphen zusammen, so fällt auf, dass der Graph von g aus einer Spiegelung von f an der y-Achse entsteht.

Merke:

Der Graph von g mit g(x)= -f(x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der x-Achse hervor.
Der Graph von g mit g(x)=f(-x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor.

Hinweis: Bei einer Streckung beispielsweise um den Streckungsfaktor k=-2 entsteht der Graph von g aus einer Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung um den Streckungsfaktor 2.

Beispielaufgaben

Aufgabe 1:
Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x³+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x).

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Aufgabe 2:
Gegeben ist die Funktion f(x)=2x³-x²+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.

a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung

b) Spiegelung an der x-Achse

c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung

d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung

e) Spiegelung an der y-Achse

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