Lineare Gleichungen

Mit linearen Gleichungen kann man eine Reihe von Problemen rechnerisch exakt lösen. Wir betrachten zur Veranschaulichung nun wieder die Handytarife der Firma "Smartphone"

Verschiedene Kunden haben folgende Probleme...

Funktionswert

Herr Müller weiß aufgrund seiner bisherigen Handyrechnungen, dass er im Monat circa 2,5 Stunden mit seinem Handy telefoniert. Da er zu einem Vertrag der Firma "Smartphone" wechseln will, möchte er nun gerne wissen welcher der Tarife für seine Bedürfnisse am günstigsten ist.

→ Hierzu wollen wir also herausfinden, mit welchem der Tarife bei 150 Minuten die geringsten Kosten entstehen.
Wir vergleichen dazu die jeweiligen Funktionswerte, also die zu x zugehörigen y - Werte, an der Stelle x = 150.

Tarif A: f (x) = 0,2x
x-Wert einsetzen: f (150) = 0,2 · 150 = 30

→ Zur 150. Gesprächsminute liegen die Kosten bei Tarif A bei 30 €.

Tarif C: f(x) = $\begin{cases} 12, & \mbox{wenn }x\mbox{ kleiner gleich 100} \\ 0,5x - 38, & \mbox{wenn }x\mbox{ groesser 100} \end{cases}$

Definitionsbereich beachten: da 150 > 100, wählen wir zur Berechnung die Funktionsgleichung f (x) = 0,5x - 38
x-Wert einsetzen: f (150) = 0,5 · 150 - 38 = 37

→ Zur 150. Gesprächsminute leigen die Kosten bei Tarif A bei 37 €.

Arbeitsauftrag 1: Berechne den Funktionswert, also die anfallenden Kosten, für x = 150 bei Tarif B auf deinem Arbeitsblatt!

Arbeitsauftrag 2: Vergleiche nun alle Werte und entscheide, welcher der drei Tarife für Herrn Müller am geeignetsten ist!

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Arbeitsauftrag 1:

• f (150) $=$ 0,3 · 150 - 10 $=$ 35
  

Arbeitsauftrag 2:

• Die Kosten bei der 150. Gesprächsminute betragen bei Tarif A 30€, bei Tarif C 37€ und bei Tarif B 35€.
  

Demnach sollte sich Herr Müller für Tarif A entscheiden!

Um den Funktionswert (y-Wert) zu erhalten, x-Wert einsetzen.

x-Wert

Frau Schmidt ist bereits Kundin bei "Smartphone" und nutzt im Moment Tarif B. Da sie sich entschieden hat im Monat künftig nicht mehr als 20 € an Handykosten ausgeben zu wollen, will sie überprüfen, ob eventuell einer der beiden anderen Tarife für sie bessere Konditionen bietet.

→ Um das herauszufinden überlegen wir nun, welcher der Tarife bei 30 € die meisten Gesprächsminuten zulässt.
Wir suchen also die jeweiligen x-Werte an einer bestimmten Stelle y = 20.

Tarif A: f (x) = 0,2x
y-Wert einsetzen: 20 = 0,2x (Bedenke, dass f (x), also der Funktionswert, gleichbedeutend mit y ist!)

nach x auflösen: x = $\textstyle\frac{20}{0,2}$ = 100

→ Für 20 € kann Frau Schmidt bei Tarif A 100 Minuten telefonieren.

Arbeitsauftrag 1: Berechne auch die x-Werte zu den anderen beiden Tarifen auf deinem Arbeitsblatt!

Arbeitsauftrag 2: Welchen Tarif wird Frau Schmidt wohl wählen?

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Arbeitsauftrag 1:

• Tarif B: 30 $=$ 0,3x - 10; x $=$ 133,3
  
• Tarif C: 30 $=$ 0,5x - 40; x $=$ 140 (Hinweis: die Gleichung 30 $=$ 12 wäre nicht erfüllt)

Arbeitsauftrag 2:

• Frau Schmidt wird wahrscheinlich Tarif C wählen, da sie hier am meisten für ihr Budget telefonieren kann.

Um einen gesuchten x-Wert zu erhalten, y-Wert einsetzen und nach x auflösen.

Geradengleichung

Luisa hat ihren Handyvertrag zusammen mit einem neuen Handy vor einem Jahr als Paket abgeschlossen. Weil sie die Vertragsunterlagen verlegt hat, weiß sie garnicht genau welchen der Tarife sie im Moment nutzt. Das möchte sie aber gern herausfinden, um zu wissen wie viel sie pro Minute für das Telefonieren ausgibt. Was sie nur weiß: Ihre vorletzte Monatsrechnung betrug bei 45 Gesprächsminuten nur 3,5 €. Die letzte Monatsrechnung bei 80 min 14€.

→ Um den Tarif zuzuordnen berechnen wir eine Geradengleichung. Auch wenn weder Steigung oder y-Abschnitt gegeben sind, können wir mit den beiden gegebenen Infomationen, nämlich 2 Punkten dieser Geraden zum Tarif, die Geradengleichung eindeutig ausrechnen.

Tarif A: f (x) = 0,2x
Informationen: P₁ = (45$|$3,5); P₂ = (80$|$14)
mit den beiden Punkten die Steigung berechnen: m = $\textstyle\frac{\triangle y}{\triangle x}$ = $\textstyle\frac{3,5 - 14}{45 - 80}$ = $\textstyle\frac{-10,5}{-35}$ = 0,3
y = 0,3x + t

einen der Punkte einsetzen, um t zu erhalten: (z.B: P₁)
3,5 = 0,3 · 45 + t; 3,5 = 13,5 + t; t = -10
y = 0,3x - 10

→ Luisa nutzt Tarif A mit der Gleichung y = 0,3x - 10. Ihr Minutenpreis beträgt also 0,30 €.

Arbeitsauftrag : Berechne eine Geradengleichung mit den beiden Punkten P₁ (4$|$2) und P₂ (10$|$14)!

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Arbeitsauftrag:

• m $=$ $\textstyle\frac{2 - 14}{4 - 10}$ $=$ $\textstyle\frac{-12}{-6}$ $=$ 2
  

P₂: 14 $=$ 2 · 10 + t; 14 $=$ 20 + t; t $=$ -6
→ y $=$ 2x - 6

Mit 2 Punkten Geradengleichung berechnen: einen der Punkte in y = $\textstyle\frac{\triangle y}{\triangle x}$x + t einsetzen und nach t auflösen. → y = mx + t

Nullstelle

Jonas entscheidet sich dafür einen Tarif ohne Grundgebühr zu wählen, weiß aber noch nicht ob Tarif A oder das Aktionsangebot Tarif B für ihn interessanter ist. Dazu möchte er erst einmal wissen wie viele kostenlose Gesprächsminuten er bei Tarif B theoretisch zur Verfügung hätte.

→ Um das herauszufinden, suchen wir nun also denjenigen Punkt, an dem sich der Graph von Tarif B und die x-Achse schneiden. Links von diesem Wert befindet sich der Graph im negativen Bereich - es fallen also keine Kosten an. Rechts davon verläuft der Graph im positiven Bereich - man muss ab dieser Minute für seine Gesprächsminuten zahlen.
Diesen Schnittpunkt des Grafen mit der x-Achse nennt man Nullstelle!

Tarif B: f (x) = 0,3x - 10 y = 0 setzen: 0 = 0,3x - 10 nach x auflösen: 10 = 0,3x; x = $\textstyle\frac{10}{0,3}$ $\approx$ = 33,3 → Ab der 33,3. Gesrpächsminute muss man zahlen. Jonas hätte also bei Tarif B ungefähr 33,3 Freiminuten zur Verfügung

Arbeitsauftrag: Welche Geraden haben keine Nullstelle? Probiere das im GeoGebra-Applet aus!

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Arbeitsauftrag 1:

• Nur Geraden, die zur x-Achse parallel sind, haben keine Nullstelle. Sie haben die Steigung 0 und sind daher von der Form y $=$ t. Jede andere Gerade (mit der Steigung $\neq$ 0) schneidet die x-Achse früher oder später!

Um die Nullstelle zu erhalten, y = 0 setzen und nach x auflösen.

Schnittpunkt zweier Geraden

Nun möchte Jonas, um sich endgültig zu entscheiden, noch herausfinden ab welcher Gesprächsdauer Tarif B teurer wir als Tarif A.

→ Teurer ist Tarif B sobald sein Graph über dem des Tarifs A liegt, ihn also "überholt" hat. Dies geschieht, wie man in der Grafik sieht, ab dem Schnittpunkt der beiden Graphen.
Hier haben die Graphen den gleichen Funktionswert (die Kosten sind identisch) und den gleichen x-Wert (bei gleicher Gesprächsdauer), rechts davon sind die Funktionswerte bzw. Kosten zu Tarif B höher.

Tarif A: f (x) = 0,2x Tarif B: f (x) = 0,3x - 10 Funktionsgleichungen gleichsetzen: 0,2x = 0,3x - 10 nach x auflösen: - 0,1x = - 10; 0,1x = 10; x = $\textstyle\frac{10}{0,1}$ = 100 → Zur 100. Gesprächsminute haben die beiden Graphen den gleichen Funktionswert, man zahlt bei beiden Tarifen gleich viel. Ab der 101. Minute muss man bei Tarif B mehr zahlen.

Arbeitsauftrag: Hat man keine Grafik vor Augen, weiß man nicht sofort, dass der Graph zu Tarif B rechts vom Schnittpunkt der beiden über dem Graphen zu Tarif A verläuft. Man kann also nicht allein anhand des Schnittpunktes entscheiden, wann Tarif B teurer ist. Überlege wie man in diesem Fall rechnerisch vorgehen könnte!

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Arbeitsauftrag 1:

• Wie man rechnerisch mit solchen Ungleichungen umgeht, lernst du im nächsten Kapitel.

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, die Funktionsgleichungen gleichsetzen und nach x auflösen.

Zusammenfassung

Problemlösungen durch lineare Gleichungen

Jedem x- bzw. y-Wert ist ein y- bzw. x-Wert zugeordnet...
y-Wert (Funktionswert) gesucht: x-Wert einsetzen
x-Wert gesucht: y-Wert einsetzen → nach x auflösen

Eine Geradengleichung kann mithilfe zweier Punkte berechnet werden...
Geradengleichung durch 2 Punkte gesucht: mit beiden Punkten m mit m = $\textstyle\frac{\triangle y}{\triangle x}$ berechnen → einen Punkt in y = $\textstyle\frac{\triangle y}{\triangle x}$x + t einsetzen → nach t auflösen

Funktionsgrafen können die x-Achse schneiden (Nullstelle)... Geraden tun dies (bis auf zur x-Achse parallele Geraden) immer!
Nullstelle gesucht: y = 0 setzen → nach x auflösen

Zwei Funktionsgrafen können sich schneiden...
Schnittpunkt gesucht: Gleichungen gleichsetzen → nach x auflösen
Anschließend y-Koordinate berechnen nicht vergessen! ...gibt es für diese Gleichung keine Lösung, so existiert kein Schnittpunkt!

Aufgaben

1. Für welchen x-Wert ist der Funktionswert von f jeweils gleich 4?
a) f(x) = 4x + 5
b) f(x) = 2 + $\textstyle\frac{1}{4}$ x
c) f(x) = 1,5x + 4

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a) 4 $=$ 4x + 5; x $=$ $\textstyle-\frac{1}{4}$
b) 4 $=$ 2 + $\textstyle\frac{1}{4}$x; x $=$ 8
c) 4 $=$ 1,5x + 4; x $=$ 0

2. Bestimme die Nullstellen der Funktionen mit der Gleichung
a) f(x) = -3x + 12
b) f(x) = 4 + 0,5x
c) f(x) = 2x - 24

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a) 0 $=$ -3x + 12; x $=$ 4, NS (4 $|$ 0)
b) 0 $=$ 4 + 0,5x; x $=$ -8, NS (-8 $|$ 0)
c) 0 $=$ 2x - 24; x $=$ 12, NS (12 $|$ 0)

3. Gib die Schnittpunkte der Geraden an! In welchem Quadranten liegen diese? Überprüfe dein Ergebniss zeichnerisch!
a) g: y $=$ 2x - 3; h: y $=$ x + 0,5
b) g: y $=$ -x + 2; h: y $=$ 3x + 1
c) g: y $=$ -4x + 1; h: y $=$ 2,5x - 2,25

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a)
g $=$ h; 2x - 3 $=$ x + 0,5; x $=$ 3,5
x-Wert in eine der Geradengleichungen einsetzen, um die y-Koordinate zu erhalten: g: 2 · 3,5 - 3 $=$ 4
→ S (3,5$|$4); S liegt im ersten Quadranten!

b)
g $=$ h; -x + 2 $=$ 3x + 1; x $=$ -0,25
h: 3 · (-0,25) + 1 $=$ 0,25
→ S (-0,25$|$0,25); S liegt im zweiten Quadranten!

c)
g $=$ h; -4x + 1 $=$ 2,5x - 2; x $=$ 0,5
g: -4 · 0,5 + 1 $=$ -1
→ S (0,5$|$-1); S liegt im vierten Quadranten!

a) b)c)

4. Der Graph einer linearen Funktion hat die Steigung 2 und die Nullstelle x = 4. Löse die Gleichung f(x) = 6 rechnerisch und zeichnerisch!

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f(x) $=$ 2x + t; NS (4$|$0)
Nullstelle einsetzen, um t zu erhalten: 0 $=$ 2 · 4 + t; t $=$ -8
→ f(x) $=$ 2x - 8
→ 6 $=$ 2x - 8; x $=$ 7

5. Eine Gerade geht durch den Punkt P und hat die Nullstelle x = 3. Bestimme die Geradengleichung!
a) P (7|4)
b) P (2|10)
c) P (0|-5)

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a)
Die Nullstelle und der Punkt P liefern die Steigung: m $=$ $\textstyle\frac{4-0}{7-3}$ $=$ 1

→ y $=$ x + t
Einen der beiden Punkte einsetzen, um t zu erhalten: 4 $=$ 7 + t; t $=$ -3

→ y $=$ x - 3

b)
m $=$ $\textstyle\frac{10-0}{2-3}$ $=$ -10

→ y $=$ -10x + t
10 $=$ -10 · 2 + t; t $=$ 30

→ y $=$ -10x + 30

c)
m $=$ $\textstyle\frac{-5-0}{0-3}$ $=$ $\textstyle\frac{5}{3}$

→ y $=$ $\textstyle\frac{5}{3}$x + t
-5 $=$ $\textstyle\frac{5}{3}$ · 0 + t; t $=$ -5

→ y $=$ $\textstyle\frac{5}{3}$x - 5

6. Die Punkte A und B liegen auf dem Graphen der linearen Funktion f(x) = mx + t. Berechne die Schnittstellen des Graphen mit den Koordinatenachsen!
a) A (2$|$1); f(x) = x + t
b) A (4$|$8); B (-2$|$-6)
c) A (-1$|$-5); f(x) = mx - 20

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a)
Punkt A einsetzen, um t zu erhalten: 1 $=$ 2 + t; t $=$ -1
→ f(x) $=$ x - 1

Schnittstelle mit der x-Achse (Nullstelle): 0 $=$ x - 1; x $=$ 1
→ S_x (0$|$1)
Schnittstelle mit der y-Achse (y-Abschnitt): f(0) $=$ 0 - 1 $=$ -1
→ S_y (0$|$-1)
Hinweis: Die Schnittstelle einer linearen Funktion mit der y-Achse, also den y-Abschnitt, kann man natürlich auch direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Der rechnerisch korrekte Weg ist der obige.

b)
Die Punkte A und B liefern die Steigung: m $=$ $\textstyle\frac{-6-8}{-2-4}$ $=$ $\textstyle\frac{7}{3}$
→ f(x) $=$ $\textstyle\frac{7}{3}$x + t
Einen der beiden Punkte einsetzen, um t zu erhalten: f(4) $=$ 8; 8 $=$ $\textstyle\frac{7}{3}$ · 4 + t; t $\textstyle\frac{7}{3}$ $\textstyle-\frac{4}{3}$
→ f(x) $=$ $\textstyle\frac{7}{3}$x - $\textstyle\frac{4}{3}$

Schnittstelle mit der x-Achse: 0 $=$ $\textstyle\frac{7}{3}$x - $\textstyle\frac{4}{3}$; x $= \textstyle\frac{4}{7}$
→ S_x ($\textstyle\frac{4}{7}$ $|$0)
Schnittstelle mit der y-Achse: f(0) $=$ 0 - $\textstyle\frac{4}{3}$ $=$ $\textstyle-\frac{4}{3}$
→ S_y (0$|$-$\textstyle\frac{4}{3}$)

c)
Punkt A in die Funktionsgleichung einsetzen, um die Steigung zu erhalten: -5 $=$ m · (-1) - 20; -m $=$ 15; m $=$ -15
→ f(x) $=$ -15x - 20

Schnittstellt mit der x-Achse: 0 $=$ -15x - 20; x $=$ $\textstyle-\frac{4}{3}$
→ S_x ($\textstyle\frac{4}{3}$$|$0)
Schnittstellt mit der y-Achse: f(0) $=$ 0 - 20 $=$ -20
→ S_y (0$|$-20)

7. Zwei Geraden g und h schneiden sich im Punkt S (-2$|$1). Die Gerade g hat die Nullstelle x = -1. Der y-Abschnitt der Geraden h ist 9.
Bestimme die Geradengleichungen und zeichne die Geraden!

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• Die Nullstelle von g und der Schnittpunkt liefern die Steigung: $\textstyle\frac{1-0}{-2+1} = \textstyle\frac{1}{-1} =$ -1
  Einen der beiden Punkte einsetzen, um t zu erhalten: 0 $=$ 1 + t; t $=$ -1
  

→ g: y $=$ -x - 1

• Der y-Abschnitt und der Schnittpunkt liefern wieder die Steigung: $\textstyle\frac{1-9}{-2-0} = \textstyle\frac{-8}{-2} =$ 4

→ h: y $=$ 4x + 9

8. Eine 20 cm lange Kerze brennt in 10 Stunden ab. Eine zweite, 24 cm lange, Kerze benötigt dafür nur 8 Stunden.
a) Gib jeweils eine Funktionsgleichung an!
b) Berechne wann die Kerzen gleich lang sind, wenn diese gleichzeitig angezündet werden!

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a)
f₁(x) $=$ -2x + 20
Die Steigung -2 erhält man durch den Bruch $\textstyle\frac{20}{10}$. In 10 Stunden brennen 20 cm ab, also brennen in einer Stunde 2 cm ab (Kürzen!). Das Minuszeichen kommt durch die Überlegung, dass die Kerze an Länge verliert, der zugehörige Graf also fallen muss.
Da die Kerze ursprünglich 20 cm lang ist, muss dies der y-Abschnitt 20 sein.

f₂ $=$ -3x + 24 (analog der Funktionsgleichung zur ersten Kerze)

b)
f₁(x) $=$ f₂ (x)
-2x + 20 $=$ -3x + 24; x $=$ 4
x-Wert in eine Funktionsgleichung einsetzen, um y-Koordinate zu erhalten: -2 · 4 + 20 $=$ 12 → S (4$|$12)
Die beiden Kerzen sind genau nach 4 Stunden gleich lang. Sie haben dann beide eine Länge von 12 cm.

Zur Veranschaulichung...