Übungsaufgaben

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Aufgabe 1:
Beschreibe, wie die unten abgebildeten Funktionen aus den vorangegangen Funktionen entstanden sind.


Ausgangsfunktion

Beispiel:

Verschiebung um 1 Einheit in positiver y-Richtung Diese Funktion dient nun als Ausgangsfunktion für die nächste Funktion
a)



b)



c)



d)



e)

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a) f(x)=0,5x²+1 $\rightarrow$ Streckung um 0,5 in y-Richtung
b) f(x)=0,5(x+2)²+1 $\rightarrow$ Verschiebung um 2 Einheiten nach links
c) f(x)=2(x+2)²-1 $\rightarrow$ Verschiebung um 2 Einheiten nach unten und Streckung um 4 in y-Richtung
d) f(x)=-2(x+2)² $\rightarrow$ Verschiebung um 1 Einheit nach oben und Spiegelung an der x-Achse
e) f(x)=-(x-4)²+3 $\rightarrow$ Verschiebung um 6 Einheiten nach rechts, 3 Einheiten nach oben und Streckung um

0,5 in y-Richtung

Aufgabe 2:
Gegeben ist die Funktion f(x)=4x⁶+8x⁵-12x⁴-24x³
a) Bestimme die Definitionsmenge
b) Berechne die Nullstellen
c) Bestimme das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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a)
D=$\mathbb{R}$
b)
f(x)=4x⁶+8x⁵-12x⁴-24x³ f(x)=4x³(x³+2x²-3x-6) $\rightarrow$ x₁=0 (dreifache Nullstelle)

Ausprobieren: f(-2)=0 $\rightarrow$ x₂=-2
Polynomdivision: (x³+2x²-3x-6)÷(x+2)=x²-3 $\rightarrow$ x₃=±√3
c)
$\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty}$4x⁶+8x⁵-12x⁴-24x³=$\lim_{x\to\infty}$4x³(x³+2x²-3x-6)=$\infty$
$\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}$4x⁶+8x⁵-12x⁴-24x³=$\lim_{x\to-\infty}$4x³(x³+2x²-3x-6)=$\infty$

Aufgabe 3:

Ordne die folgenden Eigenschaften und Begriffe den unten abgebildeten Graphen zu. Es können bei jeder Funktion mehrere Begriffe richtig sein und einige Begriffe können mehrmals vorkommen.

a. Achsensymmetrie zur y-Achse
b. Nullstelle bei x=4
c. Ganzrationale Funktion
d. Gerade Funktion
e. Trigonometrische Funktion
f. Punktsymmetrie zum Ursprung
g. Ungerade Funktion

f(x)=5x⁶-6x⁴-1

g(x)=(x-4)²

h(x)=sinx

i(x)=x⁵-x³

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f(x):
Achsensymmetrie zur y-Achse
Ganzrationale Fnktion
Gerade Funktion

g(x):
Nullstelle bei x=4
Ganzrationale Funktion

h(x):
Trigonometrische Funktion
Punktsymmetrie zum Ursprung

i(x):
Ganzrationale Funktion
Punktsymmetrie zum Ursprung
Ungerade Funktion

Achsensymmetrie	Welche Symmetrie liegt vor? f(-x)=f(x)
Grenzwert	Der Wert, dem sich ein Graph für größer werdende x-Werte annähert
divergent	Eine Funktion, die keine Grenzwerte besitzt, heißt...
punkt	Eine ungerade Funktion ist ...-symmetrisch
konvergent	Eine Funktion, die für x→$\infty$ einen Grenzwert besitzt, ist ...
y-Achse	An welcher Achse wird der Graph gespiegelt? g(x)=f(-x)
Lösungsformel	Formel zur Nullstellenbestimmung bei Quadratischen Gleichungen
Sinus	Trigonometrische Funktion
Nullstelle	Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse
x-Achse	An welcher Achse wird der Graph gespiegelt? g(x)=-f(x)

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