LK Mathematik Abitur NRW 2007

Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion

Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.

Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion. Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel.

Hier siehst du ein Beispiel dazu.

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Hier lässt sich die Fläche unter dem Graphen leicht ausrechnen. Man summiert die Quadratfläche und die Dreiecksfläche und erhält somit die komplette Fläche unter dem Graphen.

Quadratfläche:$4^2 = 16$

Dreieckfläche:$\frac{1}{2} * 4 * 2 = 4$

$\Rightarrow 16 + 4 = 20$

Die markierte Fläche unter dem Graphen hat einen Flächeinhalt von 20.

Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der Integralrechnung. Dazu wandelt man eine Funktion f (t) in F (t) um.

Es muss gelten: F' (t) = f (t)

Die allgemeine Integrationsregel: $\int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^(n+1)}{n+1} \right]_{a}^{b}$ a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.

Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.

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$\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c$

Die obere Grenze ist: 6 Nach den ersten sechs Monaten

Die untere Grenze ist: 0

$\int_{0}^{6} f (t)\,dt =$ $\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27$

Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10⁹ Liter Wasser durch den Fluss. ( 27*10⁶ m³ = 27*10⁹ Liter)

Merke: Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.