Lineare Gleichungen

Mit linearen Gleichungen kann man eine Reihe von Problemen rechnerisch exakt lösen. Wir betrachten zur Veranschaulichung nun wieder die Handytarife der Firma "Smartphone"

Verschiedene Kunden haben folgende Probleme...

Funktionswert

Herr Müller weiß aufgrund seiner bisherigen Handyrechnungen, dass er im Monat circa 2,5 Stunden mit seinem Handy telefoniert. Da er zu einem Vertrag der Firma "Smartphone" wechseln will, möchte er nun gerne wissen welcher der Tarife für seine Bedürfnisse am günstigsten ist.

→ Hierzu wollen wir also herausfinden, mit welchem der Tarife bei 150 Minuten die geringsten Kosten entstehen.
Wir vergleichen dazu die jeweiligen Funktionswerte, also die zu x zugehörigen y - Werte, an der Stelle x = 150.

Tarif A: f (x) = 0,2x
x-Wert einsetzen: f (150) = 0,2 * 150 = 30

→ Zur 150. Gesprächsminute liegen die Kosten bei Tarif A bei 30 €.

Tarif C: f (x) =
Definitionsbereich beachten: da 150 $\ge$ 100, wählen wir zur Berechnung die Funktionsgleichung f (x) = 0,5x - 40
x-Wert einsetzen: f (150) = 0,5 * 150 - 40 = 35

→ Zur 150. Gesprächsminute leigen die Kosten bei Tarif A bei 35 €.

Arbeitsauftrag 1: Berechne den Funktionswert, also die anfallenden Kosten, für x = 150 bei Tarif B!

Arbeitsauftrag 2: Vergleiche nun alle Werte und entscheide, welcher der drei Tarife für Herrn Müller am geeignetsten ist!

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Arbeitsauftrag 1:

• f (150) $=$ 0,3 * 150 - 10 $=$ 35
  

Arbeitsauftrag 2:

• Die Kosten bei der 150. Gesprächsminute betragen bei Tarif A 30€, bei Tarif C 35€ und bei Tarif B ebenfalls 35€.
  

Demnach sollte Herr Müller zwischen Tarif B und C entscheiden!

Um den Funktionswert (y-Wert) zu erhalten, x-Wert einsetzen.

x-Wert

Frau Schmidt ist bereits Kundin bei "Smartphone" und nutzt im Moment Tarif B. Da sie sich entschieden hat im Monat künftig nicht mehr als 20 € an Handykosten ausgeben zu wollen, will sie überprüfen, ob eventuell einer der beiden anderen Tarife für sie bessere Konditionen bietet.

→ Um das herauszufinden überlegen wir nun, welcher der Tarife bei 30 € die meisten Gesprächsminuten zulässt.
Wir suchen also die jeweiligen x-Werte an einer bestimmten Stelle y = 20.

Tarif A: f (x) = 0,2x
y-Wert einsetzen: 20 = 0,2x (Bedenke, dass f (x), also der Funktionswert, gleichbedeutend mit y ist!)

nach x auflösen: x = $\frac{20}{0,2}$ = 100

→ Für 20 € kann Frau Schmidt bei Tarif A 100 Minuten telefonieren.

Arbeitsauftrag 1: Berechne auch die x-Werte zu den anderen beiden Tarifen!

Arbeitsauftrag 2: Welchen Tarif wird Frau Schmidt wohl wählen?

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Arbeitsauftrag 1:

• Tarif B: 30 $=$ 0,3x - 10; x $=$ 133,3
  
• Tarif C: 30 $=$ 0,5x - 40; x $=$ 140 (Hinweis: die Gleichung 30 $=$ 12 wäre nicht erfüllt)

Arbeitsauftrag 2:

• Frau Schmidt wird wahrscheinlich Tarif C wählen, da sie hier am meisten für ihr Budget telefonieren kann.

Um einen gesuchten x-Wert zu erhalten, y-Wert einsetzen und nach x auflösen.

Nullstelle

Jonas entscheidet sich dafür einen Tarif ohne Grundgebühr zu wählen, weiß aber noch nicht ob Tarif A oder das Aktionsangebot Tarif B für ihn interessanter ist. Dazu möchte er erst einmal wissen wie viele kostenlose Gesprächsminuten er bei Tarif B theoretisch zur Verfügung hätte.

→ Um das herauszufinden, suchen wir nun also denjenigen Punkt, an dem sich der Graph von Tarif B und die x-Achse schneiden. Links von diesem Wert befindet sich der Graph im negativen Bereich - es fallen also keine Kosten an. Rechts davon verläuft der Graph im positiven Bereich - man muss ab dieser Minute für seine Gesprächsminuten zahlen.
Diesen Schnittpunkt des Grafen mit der x-Achse nennt man Nullstelle!

Tarif B: f (x) = 0,3x - 10
y = 0 setzen: 0 = 0,3x - 10
nach x auflösen: 10 = 0,3x; x = $\frac{10}{0,3}$ $\approx$ = 33,3

→ Ab der 33,3. Gesrpächsminute muss man zahlen. Jonas hätte also bei Tarif B ungefähr 33,3 Freiminuten zur Verfügung

Um die Nullstelle zu erhalten, y = 0 setzen und nach x auflösen.

Schnittpunkt zweier Geraden

Nun möchte Jonas, um sich endgültig zu entscheiden, noch herausfinden ab welcher Gesprächsdauer Tarif B teurer wir als Tarif A.

→ Teurer ist Tarif B sobald sein Graph über dem des Tarifs A liegt, ihn also "überholt" hat. Dies geschieht, wie man in der Grafik sieht, ab dem Schnittpunkt der beiden Graphen.
Hier haben die Graphen den gleichen Funktionswert (die Kosten sind identisch) und den gleichen x-Wert (bei gleicher Gesprächsdauer), rechts davon sind die Funktionswerte bzw. Kosten zu Tarif B höher.

Tarif A: f (x) = 0,2x
Tarif B: f (x) = 0,3x - 10
Funktionsgleichungen gleichsetzen: 0,2x = 0,3x - 10
nach x auflösen: -0,1x = -10; 0,1x = 10; x = $\frac{10}{0,1}$ = 100

→ Zur 100. Gesprächsminute haben die beiden Graphen den gleichen Funktionswert, man zahlt bei beiden Tarifen gleich viel. Ab der 100. Minute muss man bei Tarif B mehr zahlen.

Arbeitsauftrag: Hat man keine Grafik vor Augen, weiß man nicht sofort, dass der Graph zu Tarif B rechts vom Schnittpunkt der beiden über dem Graphen zu Tarif A verläuft. Man kann also nicht allein anhand des Schnittpunktes entscheiden, wann Tarif B teurer ist. Überlege wie man in diesem Fall rechnerisch vorgehen könnte!

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, die Funktionsgleichungen gleichsetzen und die Gleichung nach x auflösen.

Zusammenfassung

Problemlösungen durch lineare Gleichungen

Jedem x- bzw. y-Wert ist ein y- bzw. x-Wert zugeordnet...
y-Wert (Funktionswert) gesucht: x-Wert einsetzen
x-Wert gesucht: y-Wert einsetzen $\rightarrow$ nach x auflösen

Funktionsgrafen können die x-Achse schneiden (Nullstelle)... Geraden tun dies (bis auf zur x-Achse parallele Geraden) immer!
Nullstelle gesucht: y = 0 setzen $\rightarrow$ nach x auflösen

Zwei Funktionsgrafen können sich schneiden...
Schnittpunkt gesucht: Gleichungen gleichsetzen $\rightarrow$ nach x auflösen
...gibt es für diese Gleichung keine Lösung, so existiert kein Schnittpunkt!